On appelle perspectifs

1** Un système plan et une gerbe, quand le système plan est une section de la gerbe, et, réciproquement, la gerbe une projection du système plan ;

2° Deux systèmes plans, quand ils sont des sections d'une même gerbe ;

3*^ Deux gerbes, quand elles sont des projections d'un même système plan.

Lorsque, dans une série de formes fondamentales de la seconde espèce, chaque forme est perspective à la suivante, deux quelconques d'entre elles, la première et la dernière par exemple, sont rapportées l'une à l'autre, ainsi qu'on l'a déjà vu pour les formes fondamentales simples. Chaque élément de l'une des deux formes considérées correspond, en effet, à un élémjent déterminé de l'autre ^ mais, en général, les deux formes ainsi rapportées ne sont pas perspectives.

Si l'on modifie la position relative de deux formes perspectives de la seconde espèce (par exemple de deux systèmes plans per-

FORMES COLLINÊAIRES. 187

spectifs), une certaine relation persiste entre ces formes, mais elles perdent la relation de perspectivité. Dans les deux systèmes plans liés par cette condition, à toute ponctuelle correspond une ponctuelle; à lout faisceau de rayons, un faisceau de rayons; à toute courbe avec ses tangentes, une courbe avec ses tangentes ; à tout «-gone, un n-gone, et ainsi de suite.

221 . Nous appellerons collinéaires ( * ) ou homographif/ues :

2° Un système plan S et une gerbe S| , si à tout point P de S correspond un rayon p^ de S| et à toute droite g de Z, passant par P, un plan y^ de S|, passant par /7, .

3® Deux gerbes, S et S|, si à tout rayon p de S correspond un rayon Pi de S|,et à tout plan y de S, passant par p, un plan y|deS|, passant par pt .

Nous pouvons définir ces conditions en àes termes qui s'appliquent aussi aux espaces, en disant :

Deux formes fondamentales de la seconde espèce ou de la troisième (7) sont appelées collinéaires si à deux éléments quelconques

(*) MObics (Der barycentrische Calcul, etc. Leipzig, 1827, p. 3oi) a considéré le premier ces systèmes dans toute leur généralité. En leur donnant le nom de collinéaires^ il a Toulu exprimer, non-seulement qu'à tout point d'un système correspond un point de Tautre, mais encore qu'à toute droite correspond aussi une droite.

Notre étude va porter sur la relation la plus simple entre éléments d'espèces différentes dans les figures. Cette relation conduit à d'autres, d'un ordre plus élevé, sur lesquelles on se base pour faire correspondre : à une droite de l'une des figures, une courbe dans l'autre; à un point do l'une, une droite ou une courbe dans l'autre. Voir Mag?ics, Nouvelle méthode pour découvrir des théorèmes de Géométrie {^Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd VIII, p. 5i, Berlin, iSSs). — MObius, Théorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung {Abhandlungen der mathematisch-phjsischen Classe der Kônigl. Sachs. Gesellschaft der IVissenschaften, Bd II , p. 529. Leipzig, i855). — Magncs, Sammlung von Aufgaben und Lehrsàtzen aus der analjrtischen Géométrie, p. 239 et 2S8. On doit à ce dernier auteur les noms de centre eld'axe de collinéation, que nous trouverons plus loin {Op. cit., p. 43 et suiv.). Nous nous bornerons à ajouter ici que les figures planes dotées d'un axe de collinéation ne sont autres que les figures appelées homologiques par Pomcelet ( Traité des propriétés projeetives, etc. Paris, 1822, n*' 227 et suiv.). L'expression défigure collinéaire équi" vaut d'ailleurs à celle à.% figure homographique, adoptée par Ch a si.es {Aperçu histo» rique, etc. Bruxelles, 1837, p. a6i et suiv., p. 695 et suivantes).

l88 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XV.

d'espèces différentes, P et g^ de Tune, P reposant sur g, correspondent respectivement deux éléments d'espèces différentes, P| et gi de Tautre, P| reposant sur gt.

Il suit de là que si, par exemple, £ et £| sont deux systèmes plans collinéaires, et a, at deux droites correspondantes de ces systèmes, à chaque point P de a doit correspondre un point P| placé sur/Zi; car, s'il en était autrement, ^i ne passerait pas par P{, comme la relation de coUinéation Texige.

Il résulte encore de la définition, que la droite de jonction de deux points quelconques, P et Q, du système 2, doit correspondre à la droite du système Z| qui joint les points P| et Qi correspondants des points P et Q.

En effet, à la droite PQ doit correspondre une droite passant aussi bien par Pj que par Qi et ne pouvant dès lors être autre que P|Q|.

Enfin, si a et & sont des droites quelconques d'un système plan 2 et fl|, i| les droites correspondantes d'un second système 2|, coUinéaire à S, le point d'intersection P des droites a et b correspond au point d'intersection Pj des droites «4 et b^.

Le point P| , correspondant de P, doit en effet se trouver, tant sur Al que sur b^ ; il est donc à l'intersection de ces droites.

Pareillement, si a est une droite quelconque du système plan X et a le plan qui correspond à cette droite dans la gerbe coUinéaire S|, à tout point de a correspond un rayon de a. Au point d'intersection de deux droites a eib dans Z correspond, dans S|, rintersection des deux plans qui correspondent à a et à & ; à la ligne de jonction de deux points, P et Q, dans 2, correspond dans S| lo plan déterminé par les rayons qui correspondent à ces points.

222. Les formes Jbnd amentales perspectwes de la seconde es^ pèce sont collinéaires.

223. Deux formes fondamentales de la seconde espèce, colli-^ néaires à une troisième, sont collinéaires entre elles.

Les deux propositions précédentes conduisent immédiatement, à cette autre :

Si, dans une série de formes fondamentales de la seconde es*