I. — Divers modes de génération des coniques ganches

330. Quand deux gerbes collinéaires, S et Si^ ne sont ni concentriques ni perspectii^es, et n'ont ni rayon ni plan uni, le lieu des points d'intersection des couples de rayons correspondants est une courbe qui ne peut être coupée par un plan quelconque en plus de trois points, et qu'on nomme, pour ce motif, courbe gauche du troisième ordre ou courbe à double courbure du troisième ordre.

Un plan quelconque a, ne passant par aucun des deux centres S, S|, coupera les gerbes suivant deux systèmes plans collinéaires qui ne seront ni identiques ni perspectifs. En effet, si les deux sys-

(*) Pour une étude plus approfondie de la question, on pourra consulter aussi : Caylet {Journal de Mathématiques, t. X); Chasles {Comptes rendus, etc., 1837); Cre- ■OMA {Journal fur die reine und angewandte Mathematik, t. LVIII et LX); {Nouvelles yinnalet de Mathématiques, a* série, t. I); Qkejzlet {Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V); ScbrOter {Journal fur die reine, etc., t. LVI); Setdewitz (Archiv fur Mathematik und Physih, t. X).

Nous nous bornons d'ailleurs à citer une partie des principaux travaux publiés sur la question jusqu'en 18G8. Voir, pour la bibliographie complète des publications postérieures à cette époque, le Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik ; Berlin, année 18G8 et suiv.

aG8 GéollÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE \X.

tèmes plans étaient identiques, les gerbes proposées seraient concentriques, ce qui est contraire à Thypothèse; et, si les deux systèmes plans étaient perspectifs, ils auraient comme forme unie (246) un faisceau de rayons suivant lequel devraient se couper deux faisceaux de plans correspondants perspectifs de S et de Si ; en d'autres termes, les deux gerbes auraient un plan uni, ce qui est encore contre Thypothèse. Les deux systèmes plans situés sur a ont dès lors (242) un point uni au moins, trois au plus ; et, puisque deux rayons correspondants de S et de Si se coupent en chacun de ces points, la propriété énoncée se trouve vérifiée pour tout plan ne passant pas par S ou par S|.

Si le plan a contient Tun des centres, S par exemple, le faisceau T de rayons situé sur a et appartenante S aura pour correspondant un faisceau T, de S|. Dans les faisceaux T et T|, deux couples de rayons correspondants tout au plus se couperont, car, si trois couples se coupaient, T et T| seraient perspectifs, et les gerbes génératrices auraient un plan uni.

Le plan a contient donc trois points au plus, un point au moins (S) de la courbe, et cette courbe passe par les centres des gerbes «génératrices.

331. Une courbe gauche ne peut pas être d'un ordre inférieur au troisième.

Car on peut toujours trouver, dans une courbe non plane, trois points ok Ja courbe est coupée par un plan.

332. Une droite ne peut jamais couper une courbe gauche du troisième ordre en plus de deux points.

Car, si une droite avait trois points communs avec la courbe, un ))lan passant par la droite et par un quatrième point quelconque de la courbe contiendrait plus de trois points de celle-ci.

333. Trois faisceaux projectifs de plans engendrent généralement une courbe gauche du troisième ordre.

Soient a, «i, a^ trois faisceaux projectifs de plans dont les axes n'ont aucun point commun. Un plan quelconque a les coupe