I. — Éléments; proj actions et sections

1 . Le point, la droite et le plan sont les éléments simples de la Géométrie de position. Les droites et les plans doivent être considérés comme illimités de toutes parts, à moins qif on ne convienne expressément du contraire.

2. Un système quelconque de points et de droites dans l'espace

a GEOMETRIE DE POSITION. ~ CHAPITRE I.

peut être projeté d'un point S ( ' ) quelconque, qui devient alors centre de projection, au moyen d'un système de droites, qu'on appelle rayons projetants, et de plans, qui prennent le nom de plans projetants, de telle sorte que tout point du système soit projeté par un de ces rayons et toute droite, ne passant pas par S, par un de ces plans. Le point S doit être considéré comme lieu de tous les rayons et de tous les plans projetants, dont l'ensemble constitue ce que nous convenons d'appeler la projection du système proposé (^).

Considérons maintenant dans l'espace un système quelconque de plans et de droites; il sera coupé, par tout nouveau plan c, suivant un système de droites et de points, tout plan étant en général coupé suivant une droite et toute droite élant coupée en un point. Le plan cr est le lieu de toutes ces droites et de tous

(') Kous avons cru devoir adopter la notation proposée par Rete {^Géométrie der Loge, Hannover, 1866, p. 7), suivant laquelle on désigne les points par les lettm majuscules A, B, C, . . ., les droites par les minuscules a, b, c, . .., et les plans par les minuscules de l'alphabet grec. En outre, conformément à l'algorithme proposé par Grassxakx, AB dési(jnera la droite déterminée par les deux points A et B; Aa le plan qui passe par A et a\ a a le point commun à a et à a; ABC le plan qui passe par les points A, B, C; a^-/ le point commun aux plans a, ^, y^ et ainsi de suite. Carxot avait déjà proposé une notation spéciale, en vue d'indiquer, avec simplicité et précision, une combinaison quelconque d'alignements de points et d'intersections de droites ; mais on a observé avec raison que cette notation perdait de sa clarté quand il s'agissait d'exprimer une construction un peu compliquée. On a donné la préférence à celle dont Grassmann a fait usage dans son œuvre magistrale {Ausdehnungslehre. Leipzig, i844f c^ Berlin, 186a) et dans une série d'autres travaux {Journal de Crelle^ volumes 31, 36, 42, 44). Dans sa Note : Sopra un algoritmo proposto pcr esprimere gli alUneamenti e sull ' ordine o la classe del luogo geometrico dei punti o délie rette soggetti ad una legge di allineamentOf publiée dans la livraison I des Atti délie adunanze delVI. R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, pour l'année académique iS5.'j-i8j5 (p. 58-67), Bellavitis signale, entre autres choses, l'erreur dans laquelle Grassmamn est tombé quand il a cm que ses formules seraient assez générales pour représenter une courbe quelconque du troisième degré. Bellavitis traduit ensuite en formule la méthode enseignée à ce sujet par l'illustre Chasles.

(') Les projections ont été employées parles astronomes grecs (Hipparque, Ptoléuée et autres) pour la représentation de la sphère céleste apparente. Aux méthodes de perspective transmises par les anciens et perfectionnées au xvi* siècle, est venue s'ajouter, vers la fin du xvni®, la Géométrie descriptive (doctrine des projections), complétée par MoxGB. Desargues est le premier qui ait appliqué les projections aux recherches géométriques ; mais l'importance de cette application a été mise en évidence par f école de Monge, et particulièrement parles travaux de Poscellt {Traité des proprié' tés projcctives des figures, etc. Paris, 1822). Voir Baltzer, Die Elemente der Mathe^ maeiÂ, Zwciter Band, drittc Auflage. Leipzig, 1870, p. 163.