II. — Éléments conjugués

28. Les points B et D, où la droite ABCD est rencontrée par les cinquième et sixième côtés du quadrangle complet, sont séparés (H) Tun de l'autre par les points d'intersection A et C des couples de côtés opposés. On a coutume de dire que les points A et C sont séparés harmoniquement par les points B et D, ou que les points B et D sont séparés harmoniquement par les points A et C; que le segment AC est divisé harmoniquement par les points B et D ou par le segment BD, etc.

Les points A et C sont dits conjugués entre eux; il en est de même des points B et D.

Il est facile de voir que, dans un système de quatre points harmoniques, on peut opérer la permutation des points conjugués sans que le système cesse d'être harmonique ; c'est-à-dire que, si ABCD est un système harmonique, les systèmes ADCB, CBAD,

(*) La proportion harmonique était connue de P'^thagore. Ses propriétés numériques et géométriques sont exposées dans les œuvres des géomètres anciens et spécialement dans les coniques d'ApoLLO^uus de Pkrgë et dans les œuvres de Pappis (voir Mathentaticœ collectiones Pappi Âlexandrini a Federico Commandino in latinum conversœet commentariis illustratœ, Rononiâe, 1660). La construction du quatrième clément d*un système harmonique au moyen de la propriété du quadrilatère complet, c'est-à-dire par la règle seule, se trouve dans le Traité de la Hire {Sectiones conicœ in novcm libres distributœ. Parisiis, i685, I, 20; voir Cuasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. i3/|). Stei.ner en a donné le développement complet dans son opuscule intitulé : Die geometrischen Konstructionen ausgefùhrt mittelst der geraden Unie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf hii\cren Unterrichts-Anstalteit undzur praktischen Benutzutig, Berlin, i833, §3, l\, 5.

3o GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CRAFITRE T.

CDAB le sont aussi. En eflet, dans chacun de ces systèmes, les côtés opposés du quadrangle KLMN passent deux à deux par le premier point et par le troisième, et les deux autres côtés ou les diagonales du quadrangle passent par le second point et par le quatrième.

Si Ton mène maintenant, par le point d*intersection Q des diagonales {Jig' 7), les droites AQ, CQ, on détermine sur les côtés

Fie- 7.

NK, KL, LM et MN, respectivement, quatre nouveaux points S, T, U, V. Sur les quatre lignes de jonction de ces points, ST, TU, UV, VS, qui doivent être considérées comme secondes diagonales des quadrangles KSQT, LTQU, MUQV et NVQS, deux opposées passent par B et les deux autres par D. Nous avons ainsi obtenu un quadrangle STUV, dont les côtés opposés passent deux à deux par B et D et dont les diagonales passent par A et C. Il s'ensuit que, dans un système harmonique, les deux couples de points conjugués peuvent aussi être substitués l'un à l'autre sans que les quatre points cessent d'être harmoniques; ou que, si ABCD est un système harmonique, non-seulement les systèmes ADCB, CBAD et CDAB sont harmoniques , mais les systèmes DCBA, DABC, BCDA et BADC le sont aussi.

m. — Faisceaux harmoniques de rayons et de plans.

29. La proposition du n° 27, qui conduit à la définition de la ponctuelle harmonique, a pour corrélative, dans le plan, une autre proposition qui permet de définir ce qu'on doit entendre par un faisceau harmonique de rayons. On peut arriver au même résultat

FAISCEAUX HARMONIQUES DE RAYONS ET DE PLANS. 3l

en projetant le quadrangle complet d'un point pris hors de son plan ; on obtient ainsi un angle quadraréte complet et les quatre points harmoniques sont projetés par quatre rayons harmoniques qui constituent un faisceau harmonique de rayons. Ces rayons jouissent de la propriété d'être coupés, par tous les plans qui ne contiennent pas leur centre , en quatre points harmoniques ; car chacun de ces plans coupe l'angle quadraréte complet suivant un quadrangle, dont les côtés opposés se rencontrent deux à deux en un couple de points conjugués et dont les deux autres côtés passent par les points de l'autre couple (*).

Les conséquences déduites au n® 28, pour les points harmoniques, sont applicables aux rayons harmoniques.

30. Une proposition corrélative (dans l'espace) à celle du n® 27 conduit à définir les conditions dans lesquelles doivent se trouver quatre plans passant par une même droite pour constituer un faisceau harmonique de plans. Cette forme harmonique peut aussi être déduite de quatre points harmoniques, en projetant ceux-ci d'un axe qui ne soit pas avec eux dans un même plan.

Un cinquième plan quelconque, contenant les quatre points harmoniques, coupe les quatre plans harmoniques suivant quatre rayons également harmoniques. Le même résultat est fourni par un nouveau plan quelconque, ne passant pas par l'axe du faisceau harmonique de plans ; ce nouveau plan coupe, en effet, les quatre rayons harmoniques, obtenus au moyen du plan sécant considéré tout d'abord, en quatre points harmoniques par lesquels passent ses lignes d'intersection avec les plans harmoniques.

Une droite transversale quelconque, ne rencontrant pas l'axe, rencontre les quatre plans harmoniques en quatre points; un plan transversal mené par cette droite coupe les mêmes plans suivant quatre rayons qui, d'après ce qui vient d'être dit, sont harmoniques. Ces rayons harmoniques passent par les quatre points considérés, qui sont dès lors harmoniques.

(*) Les relations essentielles entre la ponctuelle harmonique et le faisceau harmonique de rayons se trouvent, pour la première fois, dans Carxot, Essai sur la théorie des transversales. Ces relations furent pourtant en partie connues par les Grecs (voir Pappvs, Mathematicœ coUectiones, lib. VII, Prop. CXLV).

Projetons un faisceau harmonique de rayons d'un point quel conque, pris en dehors de son plan, et au moyen de quatre plans. Une transversale, tracée arbitrairement dans le plan du faisceau, coupe les rayons harmoniques donnés en quatre points harmoniques; les plans qui passent respectivement par ces quatre points forment donc un faisceau harmonique de plans.

Les démonstrations du n® 28, relatives aux points harmoniques, s'appliquent également aux plans harmoniques.

IV. — Propositions relatives aux sytèmes harmoniques. 31. Nous pouvons dire en général que :

Quatre points harmoniques sont projetés d'une droite ou ajce quelconque par quatre plans Jiarmo^ niques et d'un point ou centre quelconque par quatre rayons harmoniques.

Quatre rayons harmoniques sont projetés d'un point quelconque par quatre plans harmoniques.

Quatre plans harmoniques sont coupés par une droite transversale quelconque en quatre points harmoniques et par un plan transversal quelconque suivant quatre rayons harmoniques.

Quatre rayons harmoniques sont coupés par un plan transversal quelconque en quatre points harmoniques.

32. De la proposition du n° 27 on peut encore déduire renoncé suivant : Dans tout quadrangle complet, deux côtés concourant en un point diagonal sont séparés harmoniquement par les droites qui joignent ce point diagonal aux deux autres.

De la proposition corrélative (dans le plan) à celle qui vient d'être citée on déduit cette autre :

Dans un quadrilatère complet, chaque diagonale est divisée harmoniquement par les deux autres ( ^ \

(') On trouve dans Pappus {Mathematicœ collectiones^ etc., lib. VII, Prop. ai) une proposition inverse de ce théorème ancien, qui a été reproduit plusieurs fois, notamment par Grégoire hï.^K\\T-S\'SCX.\t {^Opus geometriciim, 1647, p. 6, Prop.X), parLAHiRE {Sectiones conicœ, etc., i685, t. I, p. 20), et plus récemment par Car!<ot {Géométrie de position. Paris, i8o3, n^ 225). La même construction a été appliquée par Var ScBOOTEN {Exercitationum mathematicarum lib, II, Lugd. Batav., p. 160-162) pour