III. - Formes superposées

42. Deux formes fondamentales de la même espèce sont encore, dans certains cas, placées Tune sur Tautre de façon à avoir le môme/iei/ (2). On dit alors : des ponctuelles, qu'elles sont superposées; des faisceaux de rayons, qu'ils sont concentriques; des faisceaux de plans, qu'ils sont coaxés. On peut parvenir à ces formes, soit en coupant par une droite ou par un plan, soit en projetant d'un point ou d'une droite, deux formes fondamentales de la même espèce. Si ces formes fondamentales sont projectives, il en sera de même des formes superposées, concentriques et coaxées, qui peuvent être considérées comme les dérivées des premières.

On obtient, par exemple, deux ponctuelles superposées projectives en coupant, au moyen d'une même droite quelconque, deux faisceaux projectifs de rayons, situés dans un plan. Les ponctuelles qui résultent de cette section sont, en effet, projectives comme les faisceaux; elles sont d'ailleurs sur la même droite^ donc elles sont superposées ( * ).

On parvient pareillement à deux faisceaux de rayons concentriques projectifs, en projetant d'un même centre deux ponctuelles projectives. Les mêmes ponctuelles donneront deux faisceaux de plans coaxés projectifs si on les projette d'un même axe ; et ainsi de suite.

(*) Wei8SB!IB0R!< ( Z>/> Projection in der EBene. Berlin, 18G2, p. 65) a désigné cette condition particulière do deux ponctuelles projectives en disant qu'elles sont eonj'ee» tives. Staudigl (Lehrbuch der neueren Géométrie, etc. Wien, 1870, p. ^S) a adopté la môme dénomination.

FOniIBS BUPEBPOBÉES. j3

Nous désignerons, pour simplilîer, deux formes fondamentales ayant le même lieu sous le nom générique Ae formes superposées. Lorsque ces formes sont en même temps projectives, elles peuvent avoir des éléments correspondants communs, qu'on appelle éléments unis. La recherche qui conduit à déterminer les éléments correspondants communs à deux formes, c'est-à-dire à reconnaître que certains éléments de l'une coïncident avec les éléments correspondants de l'autre, présente un grand intérêt.

La double proposition suivante établit que ce cas peut réellement se présenter :

Étant lionnes ilans un plan deux Étant données dans un plan deur faitceaiurde rajonSfStetStl/lg-ti), ponciuelles,aietUt{fig. la),. projeettons d'une même ponctuelle u, d'un même faisceau de rayons S, .

ft par conséquent perspectifs, si on les coupe par une droite V, on obtient tur celle droite deux ponctuelles pnjectives, u^, u,, qui ont comme éléments unis les deux points d'iattrsection de c avec u et avec S| S|. Ces deux points roi'ncidcnt si S| S|

par conséquent perspectives, si o.

teisprajetle d'un point T du plan, c point devient le centre de deux fais ceaux projeclifs de rayons, Sj.Si qui ont comme éléments unis les deux droites de jonction deX anec & et avec u,Ut. Ces deux droites coïncident u, », est situé sur ST.

Au point A( de la ponctuelle ii| correspond le point Ai de la ponctuelle Uj, si les rayons S, A|, S^A, rencontrent la droite u en un même point A. Les trois ponctuelles u, u, , Uj ont donc c

élément commun ou uni le point d'intersection iif/; les ponctnelles Uf et Ils ont de plus, comme élément uni/le point d'intersection de ^ avec le rayon S| S^, commun aux faisceaux S| et S^.