On donne dans un ]>l.-ii '(irdants) de ruynns, ii{abc

lieux faisceaux égaux {pmjcclirs coa- ■ . S,{a,b,r,...) {fig. 25). Les a^«

(iM„ bbi, ce,, .... formés par les coaplu de rayons correspondants, étant <%auK entre eux, ces rayons se coupent sur un cercle qui jMssc par les points S et Sf La tangente an «cercle en S forme avec le rayon SSt un angle l'galùcclui desrayonscorrespondants; niais le rayon S, S du second Taisceau doit former le même angle avec le rayon corresponiUnl du j)iTmier; donc la tangente en S estpréi^isemcnt le rayon ry du premier faisceau, dont le corre^tondant qi dans le second est la droite S] S.

Si nous supp<isi>ns maintenant qu'un point quelconque, par exemple A(ffRi), se meuve sur la courbe, les rayons mobiles a et a^ engendreront les deux faisceaux. Quiiiid A sera très-voisin de S, le rayon o, difT^rera très- |K'U en ])osition de ç, et le rayon a très-peu ds q, c'est-à-dire de la tan- {;cnte en S. Ce ré.sullat concorde avec la ili-lînition qui jirésente la tangente en S comme la draitc de jimction du point S au point de la circonférence iiiGtiimcnt voisin. F.ireillement, au rayon p de S corresjMindra, dans Si. le rayon /)) qui touche le ccivlc en Sj.

7&. Rériproqucmcnl, si de deux [ioint.s quelconques S, Si d'un cercle nn

('} Voir en particalirr ; Stiiner, Sj-Uemaliiche Eatwickelung, etc.. Berlin, iS3]. p. i34-i3-. — CnÀiLEi, Traiiê dt Géométrie lupérlean, P«rî», i8Si, p. .^65-467,- StEim, P'orltmngrit ûbrr irntheiiiche Gtomeirif, It. Theil, Leipifg, 1867, p. 107-110- — CuMDin, Bli-nenti di Gtomrtria projetliva, ToriDO, 1S73, p. 70-73.

GÉNÉRATION DU CERCLE. PROPRIÉTÉS QUI EN DÉRIVENT. yj

projette autant de points que l'on veut, A, B, C, . . . , du même cercle, au moyen des rayons projetants a, by c, ... et «rj, ^j, C|, . . . , ces rayons forment entre eux des angles égciux, reposant deux à deux sur le même arc,

c est-a-dire qu on a ab ~- cfj ^,, ac z=^ «iCj, bc z=- b^cy^ .... Les faisceaux qui en résultent sont donc égaux (58) et par conséquent projectifs (59).

Le rayon qui projette de S le même point S, ou plus exactement le point du ceixie infiniment voisin, est la tangente en S ; d'où il suit que, dans les faisceaux projectifs S(a^c . . .), Si (ai^iq . . .], la tangente en S est le rayon du premier faisceau qui correspond au rayon Si S du second.

75. On peut étudier pareillement, au moyen de deux ponctuelles projcctives, la génération du faisceau de rayons du second ordre enveloppant un cercle, c'est-à-dire du système des tangentes au cercle.

Prenons deux tangentes au cercle, u et u^ (fig» 26), comme lieux de deux ponctuelles, et attribuons à leur point d'intersection Li double notation PQ|. Soient Pi *^' ^ et Q les points de contact des deux Uingentes; A et B leurs points d'intersection avec une troisième tangente quelconque if,.

On reconnaît facilement la propriété projective des ponctuelles parcourues par A et B en cherchant les points D, £, qui correspondent aux points h Tinfini (54), c'est-à- __ dire en déterminant les intersections de u et de «i avec les tangentes menées parallèlement aux lieux de ces ponctuelles. D'après une propriété connue du cercle, qu'on retrouvera d'ailleurs plus loin (132), le parallélogramme ainsi formé par quatre tangentes est un losange dont les diagonales se coupent à angle

^-"-^ '-"^"^ droit au centre du cercle. Les angles PDG, QiEC sont donc égaux, et il en

est de même des angles supplémcntiires ADC, CEB. Les angles en A, B et V ayant d'ailleurs respectivement pour bissectrices les rayons CA, CB, CP, et la somme des angles du triangle étant égale à 180 degrés, la somme des

moitiés de ces angles est égale à 90 degrés et l'angle PDG est égal à la somme (les demi-angles en A et B. Conséquemment

ADC :rr ACB — CKB,

^t les trois triangles ADC, ACB, CEB sont équiangles et semblables. La

76 GBOMBTIIIE DB POSITION. •»- APPBNDICB AU GHAPITaE Tlf.

proportionnalité des côtés de ADG et de CEB fournit donc la relation

AD CE DC "~ ËB ou