GENERATION DU CERCLE. PROPRIETES QUI EN DERIVENT

d'où

PD.QiE sin' - — DC.EC =r DA.EB = DP.EP,;

et puisque nous aurons

EP, = DQ,

,? DQ 2 EQi

L'angle forme par les deux ponctuelles est ainsi exprimé en fonction des données de la relation projective. Mais cette relation fournit deux valeurs de l'angle f . Dès lors, si Ton maintient fixe le point d'intersection et si Ton fait varier la direction des lieux, les ponctuelles engendreront deux fois un cercle. Nous concluons en disant que :

Deux ponctuelles projeciiues quelconques peuvent toujours être disposées fie façon à engendrer un cercle.

Il £iut pour cela choisir sur les deux ponctuelles un couple de segments correspondants égaux, appartenant au système des segments qui ne contiennent pas les points D et E (5&'), joindre deux extrémités non correspondantes des segments choisis à l'intersection des deux lieux, et déterminer l'inclinaison de ces lieux, de telle sorte que le carré de la demi-distance des points D et E soit ^al au rectangle constant que nous avons désigné sous le nom de puissance de la relation projectit^e,

La première partie de la même question, étudiée sous un autre point de ▼ue, |)eut conduire à de nouvelles conséquences.

Si u et Ui {fig, 27) sont deux tangentes fixes d'un cercle de centre C (c'est-à-dire deux rayons du faisceau du second ordre enveloppant le cercle), ii, étant une tangente variable qui rencontre les tangentes fixes aux points A et B, Tangle ACB est conslant. Si l'on désigne, en efiet, par Q, Pi, T les points de contact, on a

y^ y^ >^\ ACB = ACT -f- TCB

= ^ QCT -f- i TCPi = I QCPi.

Quand la droite Uf se meut entre les deux tangentes K et ii|, les rayons CA, CB engendrent deux faisceaux projectifs (60) ; le$ points A, B engendrent donc deux ponctuelles projectives.

L angle ACB étant, comme on vient de le démontrer, égal à ~ QCPi, égal

Fig. 37.

GKOMEmiE DE POSITION. — APPENDICE AU CHAPITRE Vif.

par conséquent à QCQi et à PCPi, il s'ensuit que les points Q et Q„ P et P, sont correspondants dans les deux ponctuelles projectives, c'est-à-dire qu'à un point commun des ponctuelles correspondent les points de contact dti tangentes fixes.

Si nous imaginons maintenant que la t'ingente se mette en mouvement autour du cercle, les points A et B engendreront sur u et //| deux ponctuelles projectives; lorsque «, s'approchera de u jusqu'à coïncider avec cette droite, le point B ira s'approchant de plus en plus de Qi jusqu'à rr>locider avec ce point ; le jxiint A viendra de même coïncider avec le point correspondant de Qi, c'est-à-dire avec le point de contact de m. On est ainsi conduit à considérer le point de contact d'une tangente comme son point d'intersection avec la tangente infiniment voisine.

76. Si quatre points A, B, C, D d'un cercle sont projetés d'un cinquième jjoint S par quatre rayons harmoniques, les rayons qui projettent les points A, B, C, D de tout autre point du cercle forment aussi un système harmonique. Le système constitué par la tangente en A et par les cordes AB, AC, AD est donc harmonique. On dit, en ce cas, que les quatre points A, B, C, D sont harmoniques.

Si quatre tangentes a, ^, r, </ à un cercle sont coui)ëes par une cinquième tangente u en quatre points barmoniques, les intersections de a, h, c.

dy avec toute autre tangente au cercle forment aussi un système harmonique. Le système constitué par le point de contact de a et par les points d'intersection ab, acj ad est donc harmonique. On dit, en ce cas, que les quatre tangentes o, b^ c, d sont harmoniques.

77. Soient A, B, C, . . . , X autant de points du cercle qu'on voudra et a, b, c, . . ., X les tangentes en ces points. Les rayons qui projettent du centre du cercle les points Aj, Bj, Ci, ... d'intersection de .r avec a, ^, r, ... sont respectivement perpendiculaires aux cordes XA, XB, XC, ... et forment par conséquent (60) un faisceau égal à celui qui projette de X les points A, B, C, .... U en résulte que ce dernier faisce«iu et la ponctueUe formée sur x par les points d'intersection sont projectifs; en d'autres termes :

La ponctuelle déterminée par plusieurs tangentes au cercle sur l'une d'elles est projective au faisceau des rayons qui projettent, d'un point quelconque du même cercle, les points de contact de ces tangentes.

Il suit de là que : Si quatre points d'un cercle sont harmoniques, les tangentes en ces points sont aussi harmoniques, et réciproquement.