TRAVAUX GRAPHIQUES DE M. LALANNE

le sens négatif A'. Les cotes sur l'axe h fournissent des ordonnées positives OH pour le déblai, et des ordonnées négatives OH' pour le remblai.

tabitjuuz di) 1843 se trouvaient très heureusement complétés par l'adjonction d'un tecoud cours d'obliques parallèles. ( Notice sur les procédés de calcul employés par Us ingénieurs anglais pour la rédaction des projets de chemins de fer, avec un tableau graphique, etc., i85i. — Tables graphiques dressées en iSSq et en i854 pour les compagnies des chemins de fer du Nord et de l'Est. — instruction pratique, etc., avec la Collection de huit Tableaux graphiques, etc., juin 1879. — Quatre Tableaux pour deux profils spéciaux des chemins de fer corses, 1880).

Les Annales des Ponts et Chaussées (1879, 3* sem., p. 96) contiennent un Rapport de M. DE FocRCT, sur la comparaison faite par il/. Ricour de diverses méthodes emfiojfées pour la détermination des aires des profils en travers, des emprises et des talus. L'étude comparative porte sur les Tableaux anamorphiques de i843 et sur de nouvelles Tables proposées par M. Wotcibcbowski. La conclusion de M. Ricour est que la méthode Lalamjik offre le double avanta^^e de donner en moins de temps des résultats plus exacts et de ne pas exiger le tracé des profils en travers. Cette conclusion se rapporte au cas où la pente transversale du terrain peut être considérée comme uniforme. La méthode de M. Wotciecbowski mérite, au contraire, d'être recommandée, lorsque le profil du terrain est une ligne brisée. Cette méthode, dite de la ligne compensatrice, a été l'objet de deux publications successives : l'une dans les Annales des Ponts et Chaussées, 5* série, 1874^ 2* sem., p. 193 {Note sur une méthode nouvelle pour le calcul des aires de déblai et de remblai dans les profils en travers, proposée par M, Wojciechowski, etc.), l'autre, beaucoup plus étendue, dans les Annales indus^ trielles (livraisons des 6, i3, ao, 37 septembre, /\, a6 octobre et i5 novembre 187^, 36 septembre, 3 et 17 octobre 1875).

On trouve aussi, dans les Annales des Ponts et Chaussées (1880, 3* sem., p. 3o3), une Note de M. H. Willottb sur la détermination, à l'aide de Tableaux graphiques, des snrfaeet des profils de terrassements. Le Tableau de M. Willotte n'est pas sans analogie avec celui de Da vaine, bien qu'il soit déduit, comme cas particulier, de considérations beaucoup plus générales. II se compose, en effet, d'hyperboles homothétiques, qui ont pour asymptotes la ligne du talus OC et l'axe du profil OD {fig^ \ii). Chacune de ces courbes est l'enveloppe des droites CD qui découpent dans le demiprofil des aires équivalentes à une aire donnée. Les valeurs des aires sont inscrites comme cotes sur les courbes correspondantes. On réduit le Tableau à d'étroites limites en ne traçant de chaque courbe que le petit segment qui enveloppe des droites CD de déclivité pratique. Ce Tableau invariable étant gravé d'avance sur un nombre suffisant de feuilles, en même temps que le gabarit du demi-profil, on trace sur chacune de ces feoilles plusieurs positions de la ligne CD déterminées par les cotes h et les déclivités a d'aatant de profils en travers consécutifs. Ce tracé est facilité par une échelle linéaire placée sur l'axe et par une échelle angulaire, formée d'un faisceau concentrique dont chaque rayon a pour cote sa déclivité. Ce faisceau étant gravé sur la feuille, à proximité du Tableau, on trace chaque droite CD en menant à Téquerre, par le point de l'axe coté A, une parallèle au rayon du faisceau coté a. La droite CD est, d'après la construction, tangente, soit à l'une des hyperboles tracées, soit à une courbe intermédiaire. On lit directement, dans le premier cas, et par interpolation à vue dans le second, la cote de la courbe, c'est-à-dire l'aire du profil. La largeur d'emprise et la longoeur du talus sont lues sur deux échelles placées à droite et à gauche de OC.

Dans une Note sur la généralisation des Tableaux construits d'après la métho€le de

Le rectangle MNPQ, dont le plan est suppose horizontal , contient donc les pieds de toutes les ordonnées verticales qui représentent les valeurs des aires A correspondant aux valeurs de h comprises entre Q et dzOH et aux valeurs de a comprises entre O et ± OA. Les sommets de ces ordonnées forment la limite superficielle du stéréogramme des aires dont les sections planes horizontales, projetées sur MNPQ^ donneraient l'abaque à courbes paraboliques.

On voit immédiatement que les rectangles partiels

ON ] / Dr,

OP f donnent respectivement les solutions 1 Rr et DRr,

OM [ qui conviennent aux cas j D/? et RDp,

OQ ) ( R77.

Il reste à décomposer le rectangle OP en deux parties, correspondant respectivement aux cas Rr et DRr et le rectangle OMen deux parties, correspondant aux cas D/? et RD/7. Or il est aisé de vérifier que si d est la distance de Taxe au point de rencontre de la plate-forme et de la ligne du

terrain, on a // = xa, selon que d=^a.

La première condition correspond aux cas DRr et RD/?, et la dernière aux cas Rr et D/?; d'où il suit que la droite BB', représentée par Tiquation /i = ^a, sépare les trapèzes OBPH' et OB'MH, correspondant respectivement il Rr el à D/?, des triangles OAB et OA'B', correspondant à DRr et RD/?. On a ainsi les gabarits primitifs des six tableaux que nous avons précédemment décrits. Les quatre premiers, rectangulaires ou trapézoïdaux,

M, Willot te {Annales des Ponts et Chaussées, i88a, i* sem., p. 90), M. Dubret propose l'emploi d'un rapporteur trapézoïdal transparent, sur lequel on a tracé, une fois pour toutes, le faisceau de droites figurant les direrses inclinaisons du terrain. La grande base du trapèze, sur laquelle ces inclinaisons sont cotées, glis$e comme le bord d'une équerre sur une règle dont le bord coincide avec l'axe coté du demi-profil. On arrête le rapporteur dans la position qui fait passer la droite d'inclinaison a par le point de Taxe coté h et on lit, à travers le transparent, la cote de la courbe tangente à cette droite, sans avoir besoin de tracer la ligne CD. On peut ainsi n*avoir que deux Tableaux, l'un pour les débiais, l'autre pour les remblais. M. DcaaiT indique, en outre, certaines dispositions qui permettraient d'étendre l'emploi du procédé à d'autres largeurs de plate-forme, et de déterminer les aires des profils mixtes par un simple déplacement du rapporteur. Il convient de rappeler à ce propos que Cocsixebt avait donné, en iSSg, dans le Calcul par le Trait, la description d'une règle transparente, au moyen de laquelle on peut obtenir, par une mesure linéaire, la superficie d'un triangle ou d'un quadrilatère.

Voir enfin, dans les Annales des Ponts et Chaussées, i884, l'usera., p. an, une Note de M. Switiowsu Sur un procédé (graphique) de détermination expéditi^e des surfaces, emprises et talus des projils de terrassements.

TRATinX GRAPHIQUES DE H

uni subi la transformatioD anamorphique ; les deux derniers, triangulai ont donné les* tableaux suppléi

I courber non transformées (').

19i. Nous avons dit plus haut comment l'abaque primitif et les tableaux graphiques pour le calcul des terrassements avaient été complétés par l'introduction d'un second cours d'obliques k ^5°. Le nouvel abaque complet, dont \a^g. 129 présente une réduction, permet de suppléer ù l'insuffisance des tableaux construits en vue de gabarits spéciaux. 11 peut arriver, par exemple, que la forme ou la nature du terrain conduise à adopter escej)lioDnellement des longueurs de plate-forme ou des déclivités de talus qui

Flg. 119.

l'écRrlent des types courants. La construction de lableaui adaptés h c

(•) Daat VÀppendiet n* 4, t. 1, ila Court dt ci anit été conduit, par I* coniidération dei fouéa I et à neuf f«niiulei ditlincte*, qui déterminaient li en neuf flgnrea, au lieu de ili. Lat Iroii âgum b par une droite B'C, repréteotée par l'équi

nilruclion âe Sgamin, M. LtLjisiiE téraui, ï neuftjpei de demi-profili déeompoiition du reclanele HNPQ ipplémentairea étaient dâterminéea — p, dana laquelle a' eat la

dlatance de l'ue au pied du talua eilérieur du foasé et ^ la profondeur Toaté. Cette droite détachait un triangle de RD/>, un triangle de V,p et un trapéie de Rr. On avait de la aorte, au-deaaoua de BB', ail rêgiona qui ae rédulieot 1 troia quand on ceate d'introduire le* (oaaé*.

'XyS CALCUL GRAPUIQIE. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE VII.

cas particuliers n*étant pas justifiée par l'application qu'on en pourrait faire à un trop petit nombre de profils, il est plus pratique de déterminer les aires au moyen de l'abaque complet. On remarque en' effet que, grâce à la graduation logarithmique des bords du cadre et des diagonales, la cote z de l'oblique MR Ifig, i3o) qui passe par le |>oint M de la verticale

Fig. i3o.

PM et de l'horizontale QM, menées respectivement à des distances de Torigine exprimées par AP = x, AQ = /, satisfait numériquement à la relation