TABLEAUX GRAPHIQUES DE M. LALANNE

aires partielles, car la graduation des axes de coordonnées qui conviendrait pour Tune ne conviendrait pas pour Tautre. On a dressé pour ces derniers cas, beaucoup moins fréquents que les quatre autres, des tableaux spéciaux, avec graduations en parties égales et courbes de niveau non déformées. Deux tableaux triangulaires de cette sorte fournissent les aires de déblai et de remblai du demi-profil, Tun dans le cas DR r, l'autre dans le cas RDp. Chacun de ces tableaux présente deux systèmes de courbes paraboliques. Celles du premier système, tracées en traits pleins, portent à c(^té de leur cote la lettre D (déblai). Celles du second système, tracées en traits interrompus, sont marquées R (remblai). Le point de rencontre de rhorizontale qui correspond à une cote donnée h et de la verticale qui correspond à une déclivité donnée a, se trouve compris entre deux courbes D consécutives et entre deux courbes R consécutives. Les cotes des deux premières courbes donnent, par une interpolation à vue, Tiiire partielle en déblai; les cotes des deux autres donnent Taire en remblai.

Dans deux autres tableaux triangulaires, disposés aussi respectivement pour les cas RD/?, DRr, le point commun à l'horizontale de la cote sur l'axe et à la verticale de la déclivité est compris entre deux droites cotées appartenant au faisceau de droites concourantes déterminées par l'équation des emprises. La cote de ce point, évaluée à vue, donne la largeur d'emprise cherchée. Une double échelle, placée à la base de chaque tableau^ permet de lire immédiatement la longueur du talus i = [x — 0)^1 -f- t* qui correspond à l'emprise x.

Fig. ia8.

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193. Les six tableaux dont nous venons de parler ne sont évidemment que les parties découpées et transformées de Tabaque complet auquel on a été conduit par la traduction graphique de la formule générale (191) qui comprend tous les cas. lAfig. 128 représente le cadre de Tabaque primitif et des six parties qui le composent (')•

(') L'idée de ce diagramme de répartition a été énoncée par M. Lalankb dans les

Tables (numériques) nouvelles pour abréger divers calculs relatifs aux projets de

routes, etc. Paris, iSSg. (Voir jinnales des Ponts et Chaussées, lois et ordonnemces,

1840, p. 289). Mais c'est seulement dans V Appendice n" A au Cours de construction

de Sgonzin, 1842» que l'auteur a considéré le plan di| diagramme comme plan de

projection des courbes paraboliques de nlTean situées sur la surface des aires. Eu

a74 CALCLL GR\PillQtB. — APPENDICE DU TRADl'CTBl'B AU CUAPITRB VII.

Les rampes (+ «) sont |>ortées en abscisses dans le sens positif, jusqu^i la limite OA qu'on a jugée suffisante; les pentes ( — a] sont portées dans

i8|3, après riiiveiiliuii de Vahaque reclilijiu*, M. Lalas.xe a fait une première application du principe de l'anamorphose géométrique à la construction de Tableaui graphiques relatifs aux calculs des terrassements dans les chemini de fer à deux toIm < Circulaire miniHtérielle du 3 septembre i843, et instruction à la suite, dam lei Annales des Ponts et Chaussées^ lois et ordonnances, i843, p. 676). Ces Tableaux, et d'autres analogues dressés de i8|4 à 1846 {Mémoire sur les Tahles graphiques, etc., 1846), ne comprenaient encore, comme Vabaque lui-même, que trois cours de droites (horizontales, Terticales et obliques à ^5% avec pente de gauche à droite).

L'ingénieur Davai!IB arait publié, en i84.>, dans les Mémoires de la Société iet Sciences de Lille, un tableau graphique qui mérite d'être analysé, tant à raison de ton originalité propre que pour les conséquences utiles de la polémique à laquelle cette publication donna lieu. Davai:<e avait remarqué que le triangle CDO (Jig. i3i)i somme de l'aire à déterminer et du triangle constant ABO, est la moitié du patallélogramme CODQ. Se fondant sur cette propriété connue (G. 140), que les parallèles aux asymptotes d'une hyperbole, menées par un point quelconque de la coorbe, forment avec les asymptotes un parallélogramme d'aire constante, Datai» avait considéré les droites CO, CQ, qui se coupent sous l'angle constant du talus et de li verticale, comme les asymptotes communes à une suite d'hyperboles homothétiques. Ces courbes étaient tracées sur une même table, et chacune d'elles portait une cote égale à la différence entre la moitié de Taire constante du parallélogramme correspondant et l'aire constante du trianglq ABO. En d'autres termes, l'hyperbole panant

CO X CO par le point D avait pour cote l'aire A =^ — j=r du demi-profil ABCD. Le point U

était déterminé, dans chaque cas, par la droite CD, menée de l'origine avec l'incli' naison a, et par la droite QD menée du point Q, tel que CQ=b OD,avec l'inclioaison r. On entrait donc dans cette Table, comme dans les précédentes, par la cote sur l'axe

CO

et par lu déclivité. La largeur d'emprise CP= • projection boriionule de

l'abscisse du point D, était aussi donnée par la simple lecture des nombres marques sur les divisions de l'axe CO. L'usage de la Table pouvait être étendu à diverses largeurs de plate«formo, pourvu que l'inclinaison du talus restât constante, et que les chiffres de graduation des ordonnées et des courbes fussent, pour chaque nooTclle largeur, augmentés ou diminués d'une quantité constante. Mais le tracé des courbes présentait des difficultés; l'obliquité de leurs intersections avec les droites QD rendait les lectures difficiles dans certaines parties de la figure : l'usage de la Table dans les cas RD/^ et DRr exigeait qu'on eût recours à des constructions supplémentaires et à des calculs; enfin, l'inventeur avait cru à tort que la Table dressée poor 0DCS^ tain talus servirait pour un talus difl'érent, sans qu'il fût nécessaire de changer les inclinaisons et les cotes des droites CD. M. Lalanne, après avoir signalé ces divers inconvénients [Examen critique, etc., Paris, i85o), a soumis la Table de DavaiI * deux anamorphoses successives. La première a donné des axes rectangulaires et des hyperboles équilatères; la seconde a transformé ces hyperboles en dioites parallèles, inclinées à 4^* de gauche à droite, et les droites convergentes CD en droites perpendiculaires aux précédentes. (Voir le Tableau résultant de cette transformation dans les Annales des Ponts et Chaussées, 1800, 1" sem., pi. CLXXVI). Les inconvéiiicnis de la Table Davai!<e étaient ainsi supprimés et, d'autre part, Vabaque et les