I. — Position du problème
198. On a vu que les opérations à effectuer sur les aires comportent des réductions préalables qui permettent de substituer à ces aires des segments de droites (87). Mais quand il s'agit de re-
(')Proclds, dans son Commentaire sur le premier livre des Éléments (Procli DiADOCHi Ltcii, etc. ïn primum Euclidis EUmentorum librum Commentarium, etc., a FRAiiasco Bakocio, etc. Patavii, i56o, p. 40)1 cite, parmi les écrits mathématiques d'CocuDB parvenus jusqu'à lui, un Traité de la division des aires : Itemque de divi- **onibus iiber, U ajoute, à propos d'une question spéciale traitée dans ce livre : « Circulai namque et rectilineorum quodlibct in ratione dissimiles dividi potest figuras. Quod et ipse Euclides in divisionibus pertractat, aliam quidem figurarum in similes cl^tas figuras, aliam vero in dissimiles dividens. » D'après Procu:8, le livre d'EccLiDE ^Tait pour titie : IIspl Siaipéascov ^i6\(ov. Ces indications, et quelques autres observations du même commentateur, permettent de penser que le Traité de la division des aires était composé d'une suite de problèmes recueillis pour servir d'exercices aux élèves du Géomètre grec et pour être mis en pratique dans les applications de la Géométrie. Après Proclos, le livre d'EocuDB tomba pour longtemps en oubli, et c'est feulement dans la seconde moitié du xvi* siècle que l'attention des géomètres d'Occident fut ramenée sur un sujet dont les origines sont si anciennes. Les questions traitées dans le Livre de la division des aires furent cependant connues en Italie au commencement du xiii* siècle. ()n en trouve des traces évidentes dans la Practica Geometriœ de LtO!fARD db Pise. On sait, du reste, que ce savant puisa sa culture mathématique aux sources arabes, et c'est précisément aux Arabes que nous devons tout ce qui a pu être retrouvé de l'ancien Traité grec. Ce Traité fut mentionné pour la première fois en Occident, vers 1670. Job!i Deb venait de découvrir un petit livre sur la division des aires qui portait en tète le nom de Mahomet Bagdadiic, géomètre du
présenter, au moyen de certaines figures déterminées, les sommes^ les différences, les multiples ou les sous-multiples d'aires données,
X* siècle. Il en publia, avec la collaboration de Federico Comiiatidiiio, une traduction latine, précédée d'une Introduction dans laquelle il exprimait certains doutes sur le point de savoir si le Traité attribué à Bagdadin n'était pas précisément le IIcpl 6iaipéffeuv ^i6\îov d'EocuDE. Federico Comma^idino ajouta à la traduction en la publiant, ainsi qu'il résulte du titre même : De superficiernm divisionibus liber Mahometo Bagdedino ascriptus nunc primum JuXn?iis Dee Londinemis et Fbdebici GoMMAiCDiai Urbinatis in lucem éditas. Federici Commahdini de eadem re Ubellus. Pisauri, MDLXX. Fdlvio ViANi traduisit le Traité en italien dans le courant de la même année.
Dee ne connaissait probablement pas le second passage de Proclcs, cité plus haut, qu;ind il publia le Traité qu'il avait eu la bonne fortune de découvrir. La conoaifesance de ce passage le fortifia plus tard dans l'opinion qu'il avait d'abord timidement exprimée, et il écrivit de sa main sur l'exemplaire de PaocLOs qu'il possédait et en regard du même passage : « Clarum hinc esse potest Librum illum, sive fn^mentum, de Divisionibus superficierum, quem nos cum Mathematici excellentissimo D. Federico Commandino reliquimus, aniio ij63 ipsius Euclidis fuisse; quod tum conjtciebamus quidem, aliis argumentis adducti, hujus loci immeroores. »
Cette opinion de Dee ne fut pas admise sans contestation par les savants. Sir Hexrt Sa vile (Prcelectiones tresdecim in principium elementorum Euclidis Oxonice habitœ^ i630> Oxoniaî, i6ai, p. 17) allégua, pour la combattre, qu'on ne pouvait attribuer à Eucudb un Traité entaché de plusieurs inexactitudes et dans lequel ne figuraient pas les propositions mentionnées explicitement par Pboclus comme se rapportant à la dirision du cercle et à celle des figures semblables ou dissemblables. En dépit de ces objections et de quelques autres, Gbegort inséra, dans son édition des OEuvres d'EccLiDE, le Traité précédemment publié par Dee et par CoMMAJfDix (ErKAEIAOT TA £ÛZ0M£NA, Euclidis quœ supersunt omnia. Ex recensione David» Gbecobii, Oxoniœ, hdccui, p. 667-684)' Gregoby écrivait à ce propos (Op. ciV., p. lo-ii de la Préface) : Quod et raro admodum rcperitur, et Euclidem auctorem magis sapiat quam optica et catoptrica pro ejusdem Libris habitas; » et il ajoutait : « illum latine tantum exhibemus: graece enim, quod sciamus, nullibi reperitur. »
Le Traité d'EccLiDE sur la division des aires e&t tombé depuis dans un oubli presque complet. Les historiens des Mathématiques n'en ont parlé, jusqu'à ces derniers temps, que d'après les sources anciennes déjà citées et sans faire avancer la question par aucune recherche nouvelle. On trouve cependant, do loin en loin, dans les Traités de Géométrie plane et, plus particulièrement, dans les Traités de Géométrie pratique, quelques propositions évidemment empruntées au Livre plus ou moins authentique d'EucLiDE. Ce n'est pas ici le lieu d'en suivre les traces par le menu, quelque intéressante d'ailleurs que puisse être cette recherche pour l'histoire de la Science. Nous préférons parler des travaux que Fbaxçois Woepcke a publiés tout récemment sur le même sujet.
Ce savant, aussi profond orientaliste qu'habile mathématicien, a découvert dans le manuscrit n" 952, 2 (supplément arabe de la Bibliothèque Nationale), un fragment qui remonte à l'an 980 et qui contient une traduction du Traité d'EcCLiDB. Le géomètre grec y est explicitement désigné comme auteur de ce Traité [Woepcbb, Notice sur des traductions arabes de deux ouvrages perdus d'Euclide ; Journal asiatique, 4* série, t. XVllI, p. 218, 21g, 228-247. Paris, MDCCCLl]. Le fragment découvert par Woepckb diflfère beaucoup de celui que Dee et Commamdi}! avaient antérieurement publié. U ne
