II. — Volume des solides réguliers de déblai et de remblai

242. Soit proposé i^fig' i63) un solide rectIHgne de déblai ou de v^mblal, compris entre deux demi-sections transversales, ABCE et

Fig. i(>3.

A| B| C| El, dont la distance AA| = EE| est supposée assez petite pour qu'on puisse considérer les arêtes BB| et CC| comme droites. On suppose droites aussi les lignes BC, B,Co BjC^, du terrain naturel, dans les sections transversales extrêmes et dans une troisième section Intermédiaire quelconque, parallèle aux précédentes. La surface du terrain naturel, dans le solide ainsi délimité, est un quadrilatère parabolique ayant pour directrices les droites BB|, CC|, et pour génératrices les droites BC, B, C| contenues

32 i CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE X.

dans les plans parallèles des sections transversales. L'un quelconque de ces plans coupe le tétraèdre BCBiC| suivant un parallélogramme dont une diagonale est la génératrice B2C2 du paraboloïde, située dans la même section; conséquemment, si Ton considère le tétraèdre comme composé d'une suite continue de ^ tranches élémentaires parallèles aux sections transversales, on ^ voit que chacune de ces tranches est pai'tagée en deux parties ^; égales par le paraboloïde. Le tétraèdre lui-même est donc divisé ^g^ par le paraboloïde en deux solides équivalents. Dans les deux sec — - ^ lions extrêmes, les parallélogrammes se réduisent à leurs diago — - ^ nales respectives, c'est-à-dire aux génératrices BC, BjCi, du pa- .^~ raboloïde, et, des deux faces du tétraèdre passant par BC, i'un< BCB|, est située au-dessus du quadrilatère parabolique, tandr que Pautre, BCC|, est située au-dessous du même quadrilatère^ ^^ Pareillement, les deux faces B| C| C et B| C| B sont. Tune au-dessi Tautre au-dessous du quadrilatère parabolique.

On voit par là que le volume du prisme ABCDAjBi C|D|, sit" au-dessous du quadrilatère parabolique, est la moyenne arithi tique entre le volume formé par la somme de deux prismes sitL^z^és sous les faces BCBi , B| C| C du tétraèdre et le volume formé paKz-* k somme des deux prismes situés sous les faces BCC|, B|C|B du même tétraèdre.

Si Ton retranche du prisme moyen ABCDAiBiC|D| la pyramide tronquée CDEC|DiE|, située sous le talus CEE|C|, ona^ comme volume du solide proposé ABCEAj B|C|E| :

V=i|(ADAiBCBi-l- ADDiBCC,

-h AiDj ABiCiB-f-AiDiDBiCiC) — CDECiD,E|.

Posons

AAi=:EE,=/, AE = AiEi— ^, AB = h,

AiBi=:^,, DC=::n, DiCi=Uj

et désignons par t la tangente de Tangle que le talus CEE|C| »3il avec riiorizonlale.

Nous avons alors

VOLVIIB DBS SOLIDES RÉfiULIEtlS DB DÉBLtl ET DB BEllBL.tI.

ïties volumes des solides prismatiques sont représentés pai ADAiBCB, =iiU -t-5U(/, H H+A,], ADD.BCC, =;/(* -t-5\i[A + H + H,).

AiD,AB,C,B--i/( b

U +ÏÏ!^A(A, + H, + A),

fl\

A,D,DB,C,C— ;/U +!U(A, + H,-t-H),

CDr.c,D,E =;,(t + t'+^)

Ed substituant et réduisant, on aura, pour expression du volume cherché,

) + \- [hii-h/i,a,) — -^i{/i--fi,] '-•

343. Si l'on mène par le point E la parallèle à AB jusqu'à sa rencontre avec les parallèles à AD, menées par les points B et C, on transforme ^ la section ABCE en une aire qui est représentée par la partie hachurée de layï^. i64- Cette aire, composée d'un trapèze et d'un B^ triangle, a pour expi-ession

Pareillement, l'aire de la section Ai B| Ci E, a pour expression

A, = iMA, + H.) + ^.

Substituant dans{i), il vient

ï-,'aire étant la moyenne arithmétique des sections ex-

328 CVLCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE X.

Soit X Terreur commise dans cette approximation, c'est-à-dire la quantité dont il faudrait augmenter V pour obtenir V. Nous aurons

-J ^ (^ -+- //, ) (/ -r /i ) -f- .r zr: Jj^ (2/// 4 -2//,/, -f- ///, -^ //i/);

et, par suite.

Il suit de là que le volume exact Y est égal au produit de la demilongueur moyenne du solide cunéiforme par Taire qu'on obtient en augmentant F© d'un triangle qui a pour base b et pour hau-

Soit donc ABGD {Jig- 167) Taire Fo- On prolonge DC de la quantité CE =rr A, — h ; on porte sur une même droite quelconque,

Fig. 167.

à partir du point C, et en ayant égard aux signes, les segments CG et CF respectivement proportionnels à l^ — / et à 3(/| -j- /). On mène enfin, par le point G, la parallèle GH à la droite FE. T-e triangle d'erreur est alors représenté en grandeur et en signe par CBH.