III. — Volume des solides irréguliers

245. L'axe du tracé et, par conséquent, du solide à calculer, n'est pas toujours rectiligne; il présente même quelquefois des courbures de petit rayon. Le plus souvent, en pareil cas, on multiplie les aires des sections faites normalement à Taxe du tracé

VOLUMB DES SOUDES REGEUEKS DE DEBLAI ET DE REMBLAI.

^t le volume du solide serait exactement égal au produit de Taire Knoyenne par la distance entre les profils.

244. Les mêmes formules s*appliquent aux solides cunéiformes i^fig- 166) qui se présentent souvent quand on passe du déblai au remblai. La section Fo étant celle du profil transversal, en déblai ou en remblai, le plus voisin de la ligne de passage, les faces latérales F et F|, parallèles et verticales, peuvent être considérées

comme correspondant aux deux sections transversales A et A| de \dL Jig. i63, avec cette disposition particulière que la demiplateforme 5 = o et que, par suite, les lignes du talus partent des pieds des ordonnées A et h^. On voit, d'ailleurs, que la différence des projections horizontales de ces lignes est /| — /et que la distance /, entre profils, est ici remplacée par TépaisseurA du coin. Si donc on fait, dans la formule (2) du n° 2i3,

l-:.L, A-^F, A,^rF„

on a, comme expression du volume du solide cunéiforme,

soit, en faisant F -- ^ A/, Fi -- z Ai l\ et réduisant

Dans la pratique des calculs de terrassements, on ne connaît pas les aires latérales F et F|, mais seulement Taire transversale F©, et Ton détermine approximativement le volume du solide en multipliant Taire Fo ^= J 6(A -h Ai) par la demi-longueur moyenne

— 7— î • On a, dès lors, comme expression approchée du volume :

= ; ^(// -+.//,)(/ -h /, ; =z '-b[hi -+- //»/, -h ///, -+- //,/).

33o CALCUL GR.IPIIIQUR. — CHIPITRE X.

volume du solide engendré par le mouvement d'une figure plane, constamment normale à la trajectoire de son centre de gravité, est égal à l'aire de la figure, multipliée par la longueur de cette trajectoire. Dans noire exemple, les aires S et S| ont pour trajectoires deux arcs concentriques dont les rayons sont respectivement de 17"*, 5o et de 2î"*,5o. Les longueurs /, mesurées sur i*axe, doivent donc être diminuées de ^5^ / = ^ / pour le déblai, et augmentées dans la même mesure pour le remblai.

IV. — Détermination des volumes au moyen des courbes de niveau.

2i6. On détermine souvent le volume des solides irréguliers a^^n? moyen des courbes de niveau (101).

a été donnée par Mojitccla. M. LÉO!f Rodbt a propo&é cette autre traduction, faite sur le texte grec : « Le rapport des rotations complètes est composé à la fois de celui des ligures tournantes et de celui di^ droites semblablement menées sur les axes, do leurs centres de gravité. Celui des (rotations^ incomplètes (est composé) de celui des figures tournantes et de celui des arcs qu'ont décrits les centres de gravité de ces figures; et le rapport de ces arcs est évidemment composé de celui des droites menées et des angles compris entre les extrémités de ces droites, quand bien même ces extrémités seraient tout auprès des axes de rotation. » Pappis se désigne clairement comme Tautcur de ce beau théorème dans les lignes suivantes, qui précèdent l'énoncé de la proposition : « J*ai honte de plusieurs géomètres que je vois s'occuper de recherches futiles au lieu de s'appliquer à Tétude de propositions plus utiles et plus générales. Et pour ne point exprimer gratuitement cette opinion, je vais leur dévoiler ceci, qui est peu connu. » Pappcs montre bien, d'ailleurs, qu'il a compris l'étendue et la fécondité de ce principe, lorsqu'il ajoute, après l'avoir énoncé : « Ces propositions, qui, au fond, n'en font qu'une, comprennent sous une même dénomination un grand nombre de théorèmes variés sur les lignes, les surfaces et les solides. Quelques-uns de ces théorèmes ne sont pas encore démonti*és; d'autres le sont, au contraire, et, parmi ces derniers, ceux qu'on lit dans le Livre XII des Éléments, > Il serait donc juste de donner le nom de Pappus au principe si fécond qui porte le nom de GcLDi!<(; et cela d'autant plus que Gdldix cite plusieurs fois l'Ouvrage du géomètre d'Alexandrie dans la Préface de son Ouvrage, ce qui ne permet pas de supposer que la proposition de Pappcs lui était inconnue. On peut d'ailleurs s'étonner que Pappcs n'ait pas démontré cette proposition. Il en avait au moins deux occasions naturelles : l'une dans le Livre VI II, consacré à la Mécanique, l'autre dans le Livre V, où il refait précisément lu théorie des surfaces et des volumes engendrés par des lignes ou par dos surfaces tournantes.

Voir MoNTUCLA, Histoire des Mathématiques, nouvelle édition, t. I. Paris, an VII, p. 829-330. — Klijgei., Mathematisches ff'ôrterbuch, t. 1. Leipzig, i8o3, p. /|28. — Chaslks, j4percu historique, etc. Bruxelles, i837, p. 29 et 90. — Po?icel£T, Traité dei propriétés projectivef y etc., t. 1. Paris, 1866, p. xxv. — Hof.fer, Histoire des Mathématiques. Pans, 187^1, p. qGj. — Max, Marir, Histoire des Sciences Mathématiques et Physiques, t. Il, Paris. i883, p. 47 et 53, et t. 111, i88'|, p. 169.

DBTBRUI NATION DES VOLUMES AU UOÏEN »E9 COURBES DE MVE^D. 33l

On règle ordinairemenl la distance constante entre les plans de deux courbes de niveau consécutives, de telle sorte que toute section plane verticale faite dans le terrain, normalement à ces courbes et entre leurs plans, puisse être considérée comme rectiligne. Si l'on admet, d'ailleurs, que deux courbes voisines sont semblables, le solide compris entre les plans de ces conrbes pourra être considéré comme un tronc de cùne et aura pour volume

V^l/i'f -hF, .-v'Fk,;.

A étant la distance verticale entre les deux courbes ei F, F, les aires de leurs sections.

Dans la pratique, on se borne à multiplier l'aire movenne par /i et l'on 9

V— [/>[?-'- Fi).

Ce volume excède le précédent de i/({y'f' — v'K, ) .

Les dimensions semblables des deux sections étant entre elles

dans le rapport - .=• on pourra déterminer l'erreur par la construc-

V ^ i tion suivante.

Soit S (Jig- 169) le centre de similitude des deux courbes. Sur

la diflTérence S( Adesrajonsbomologues SA, SS|, on construit une courl)e AB,C|, semblable aux deux précédentes. L'aire de celte

33a CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE \.

courbe sera (y'F — y^Fi)*. En mulliplîant cette aire par ^/i, on aura

AS

l'erreur cherchée. Le rapport — ^ étant ordJnaîremenl très peûl,

Ad

l'erreur est elle-même très petite. Une autre erreur peut proveoir de ce que l'hypothèse faîte sur la similitude des deux courbes consécutives ne se réalise pas complètement. Mais cette erreur, résultant d'une faible variation dans la longueur des rayons, S| A, S|6|,

AS SïC|, . . ., est plus petite encore que la précédente lorsque —r

est très petit.

2i7. Quand on se propose de déterminer le volume d'un mamelon, il arrive le plus souvent que le plan de la courbe horizontale supérieure est donné par un solide partiel en forme de calotte irrégulière. On mesure ce solide en multipliant Taire de la dernière courbe horizontale qui lui sert de base par la moitié de sa hauteur, si la cime est arrondie ou cunéiforme, par un tiers de la même hauteur, si la cime est de forme conique, et, en général, par un tantième de la hauteur, compris entre o,33 et o,5o, pour les diverses formes de la cime comprises entre les deux précédentes. Enfîn, lorsque la cime est terminée par un plateau incliné, on multiplie la distance verticale, comprise entre le centre de gravité de ce plateau et la dernière section horizontale, par la demi-somme des aires de cette section et de la projection horizontale du plateau.

Le moyen le plus pratique pour déterminer les aires des diverses sections horizontales consiste à faire usage du planimeire. On fait ensuite la somme des aires de toutes les sections, on en retranche la demi-somme des aires des sections extrêmes et le produit de la différence par Téquidistance h donne le volume compris entre les deux sections extrêmes considérées.

y. — Détermination des volâmes an moyen de plans cotés.

218. Quand les solides ne sont pas très étendus en largeur, on évite souvent de rele\er des courbes horizontales, et Ton trouve plus commode de déterminer leurs volumes au moyen d'un plan colé. A cet effet, on relève et Ton niNelle sur le terrain un nombre suffisant de points pour qu'en les joignant deux à deux par de>?