THEORIE DU PLANIMETRE POLAIRE
a position primitive de Taxe, le disque roule sans glissement, et a distance OM, parcourue en ligne droite, est égale au produit de a circonférence du disque par le nombre de tours qu'il effectue. 5i, au contraire, Taxe est déplacé suivant sa propre direction OP, e disque suit ce mouvement, mais il glisse sans rouler. Enfin, si .'on fait avancer Taxe parallèlement à lui-même, dans une direction oblique 00«, comprise entre les deux directions rectangulaires précédemment considérées, le disque roule et glisse simultanément et tout se passe comme s'il avait glissé de O en P et roulé de P en 0« . Le produit de la circonférence du disque par le nombre de tours effectués est donc égal à POi = /. L'aire A A| Ci C, décrite par Taxe, a, dès lors, pour expression
AAi.PO, = AAi,iTcpn z=z AAj.OOjSina,
p étant le rayon du disque, n le nombre entier ou fractionnaire de tours effectués pendant le déplacement de OOi.
264. Supposons maintenant que Taxe n'est plus assujetti à se déplacer parallèlement à lui-même et soient AA«, BB« (Jig' 180) deux de ses positions infiniment voisines. On peut admettre qu'il est passé de l'une à l'autre en se déplaçant d'abord parallèlement
iu même ordre. Noua ajouterons cependant que le planimhtre orthogonal de Go!i- *(ELU, et l 'S nombreux appareils qui se rattachent à ce type doivent être considérés domine supplantés désormais, au moins en ce qui touche les applications courantes, psir \e% pianimèlres polaires, dont la première disposition a été donnée par le profes- *«wr Jacob Amsler Laffo.x, de SchaiTouse. ( Ueber die mechanische Bestimmung des ^iàeheninhalles, etc., von Jarob Amsleb, Schaflausen, A. Beck und Sohn, i85G.) Cet
instrument, dont le général russe J. Strclbitsky a récemment fait une application ■^«narquable {Superficie d'Europe établie par J. Strelbitsky, Saint-Pétersbourg, imp. *''*<>nke et Fusnot, 1882), a été l'objet de nombreux perfectionnements, dont quelques- ^v^s ft<»nt dus à l'ifiTeutcur lui-même. Nous nous bornerons à signaler les deux '^^^UTeaux types qu'AMSLER a envoyés à l'exposition de Zurich. L'un est à disqutt \^<^heibenplanimeter)\ l'autre est disposé spécialement pour le calcul des figures *l*heriqin.8. Ces deux types, et un troisième plus récent, à calotte sphérique (Kugelf'^^*timeter\ ont été décrits par l'inventeur dans uneNote intitulée : Aeuere Planimeter' ^^"ttructione/t {Zeitsclirift/i'tr I/isrnime/itenkunde, i^hr^anQ 188^, Heft 1, p.ii-28.}
^<>ir, pour plus de détails bur l'histoire et la bibliographie des instruments plani- ^^triqiifs : lieilriige zur Geschichte der Planimeter ^ von D' A:<T0M0 Favaro. Wien, ^«•uckun-l Vcriag von R. V. Waldhcim, 1873.
à lui-même de la quantité rf/, pour occuper la position C, C|, et en: pivotant ensuite sur son point milieu O de la quantité angulair rf<p. Les secteurs OBC, OBjCi étant égaux, on voit que l'ain:! AAiBfB, effectivement décrite, est égale à l'aire AAiC|C dim^. nuée de la somme des aires des triangles mixtilignes ABC, Aj B, C^ Mais toutes les dimensions de ces triangles sont infiniment]^ tites, comme dl et rf<|/. Leurs aires sont donc des quantités infi*^^ ment petites d'un ordre supérieur au premier, c'est-à-dire ^ quantités négligeables par rapport à l'aire du parallélogranc::^ ^ AAjCi C, qui est le produit de dl par la quantité finie AAj. Do^^ l'aire du quadrangle AA,B|B est égale à AA| ,dL
De même, pour un déplacement fini, décomposable (yîg". lyg) en une première translation sans roulement, OP, en une seconde translation POi = /, accusée par le roulement du disque, et en une rotation <|/, durant laquelle le disque pivote sur l'un de ses points, sans rouler ni glisser, l'aire décrite AAjBfB est égale au produit de la longueur de la tige par la distance /= 2Tzpn.
