THÉORIE DU PLAMMÈTRB POLAIRE

le sens négatif, ou si, la rotation de Taxe ayant lieu dans le sens positif, le disque élait fixé à la distance c du milieu, mais vers l'extrémité B^ le chemin cf^ devrait être ajouté et Ton aurait

Dans ces formules, / représente toujours le chemin total mesuré par la rotation du disque et ^ Fangle formé par les deux positions extrêmes de Taxe.

266. Nous avons admis jusqu'ici que Taxe AA| passait par le centre du disque. Mais cette condition n^est pas nécessaire et les résultats donnés par Finstrument ne seront pas modifiés si le disque est monté sur un autre axe, pourvu que les deux axes soient parallèles et invariablement liés l'un à l'autre.

Considérons, en effet, un disque D {^fig- 182) assujetti à se

Fig. 182.

mouvoir sur une circonférence de rayon OD = r, de telle sorte que la projection normale de l'axe AA| sur le plan de roulement passe toujours par le centre O.

Supposons qu'un second disque M, situé dans le même plan que D, soit monté sur un axe BB| rattaché à AA| par un châssis rigide. Si l'on fait pivoter le système autour du centre O d'une

quantité angulaire f , les disques D et M décrivent respectivement les chemins DD' et MM'. L'axe AA| étant constamment perpendiculaire à la direction du mouvement, le nombre de tours effectués par le disque D accusera le chemin effectivement décrit DD' = /*ç. L'axe BB| faisant constamment avec la direction du mouvement, c'est-à-dire avec la tangente MN, un angle a = OMD, on sait (263) que le nombre de tours effectués par le disque M n'accusera plus, dans ce cas, le chemin effectivement décrit MM', mais seulement le chemin MM' sin«. Or

donc

sina

MM'sina=rç» = DD';

d'où il suit que les disques D et M donneront exactement les mêmes indications.

Le raisonnement que nous avons fait dans le cas d'un déplacement circulaire s'étend aux cas de déplacement suivant des courbes quelconques, car on peut toujours considérer un arc de courbe infiniment petit comme un arc de cercle.

267. Le disque peut tourner dans les deux sens. Si l'axe AA|, après avoir décrit une aire, la décrit de nouveau d'un mouvement rétrograde, le disque effectue dans un certain sens, pendant ce second mouvement, autant de tours qu'il en avait effectué en sens opposé pendant le premier; en sorte que l'aire, ainsi parcourue deux fois, est sans influence sur le chemin accusé par la rotation du disque. Si l'axe parcourt une aire S, m fois dans un sens et n fois dans le sens opposé, le disque effectue m fois dans un sens et n fois dans l'autre le nombre de tours nécessaire pour décrire une seule fois l'aire considérée, et l'on a

Il est donc indispensable de connaître le sens dans lequel le disque tourne pendant que l'axe se déplace. La figure ne gardant aucune trace de ce déplacement, le sens de rotation du disque ne peut se déduire que du sens dans lequel le périmètre de l'aire est parcouru par les extrémités de l'axe. Cette indication sera d'ail-

THÉORIE DU PLANIMÉTRB POLAIRE. SSg

leurs suffisante si Ton tient compte des règles précédemment données (Chap. IV, § I") sur la relation à établir entre le signe d'une aire et le sens dans lequel son périmètre est parcouru. Soit, par exemple, ABCD (Jig. i83) l'élément superficiel que

décrit l'axe du disque quand il passe de la position AD à la position infiniment voisine BC. Cet élément peut être considéré comme égal à la différence des deux triangles OAB, ODC qui ont leur sommet commun O à l'intersection des deux positions considérées. On devra donc, pour établir une relation entre le signe de Taire et le sens dans lequel les arcs AB et DG sont parcourus, affecter à ces arcs des signes contraires, c'est-à-dire placer des flèches de sens opposés sur les chemins -fVB, DG, respectivement décrits par les extrémités A, D de l'axe. Il suffit alors de prolonger ces flèches sur les segments qui marquent les positions extrêmes de l'axe pour reconnaître que, conformément aux conventions sur les signes rappelées plus haut, le périmètre d'un élément superficiel positif ABGD est parcouru dans un certain sens et le périmètre d'un élément négatif OGD, dans le sens contraire.

La même relation se vérifie évidemment lorsque le point O est sur l'axe même {Jiff- i84). L'aire de la figure décrite est alors augmentée de l'élé- '^' '*

ment positif OAB et diminuée de l'élément négatif OGD.

La règle, établie par une aire infiniment petite, ne change pas lorsque, par suite d'un nouveau déplacement infiniment petit de l'axe, un nouvel élément superficiel vient s'ajouter au précédent.

D'où il suit que les aires finies, aussi bien que leurs éléments, doivent être considérées comme décrites dans le sens positif ou dans le sens négatif, c'est-à-dire comme positives ou négatives, selon que les flèches marquées sur leurs périmètres sont dirigées dans l'un ou l'autre sens.

Nous compléterons ces explications par quelques exemples

268. Dans le circuit entrelacé de X^ifig. i85, les deux aires p

Fig. i85.

tiellesy de signes contraires, délimitées par des contours de sens opposés, sont effectivement parcourues en sens opposés, ainsi qu^on le voit par les flèches indicatrices des directions suivant lesquelles le disque se déplace.

Dans la Jig, 1 86, les aires marquées -|- i et — i sont décrites

Fig. i86

en sens inverses et les aires marquées o sont décrites une fois dans chaque sens ; en sorte qu'elles sont sans influence sur la somme algébrique des chemins, accusée par la rotation tantôt positive, tantôt négative du disque. Cette somme est donc proportionnelle à la différence des aires -f- 1 et — i.

Les positions extrêmes de l'axe et les chemins parcourus d'un mouvement continu par ses extrémités forment une figure fermé' dont le circuit, s'il est entrelacé, peut toujours être décompo? en plusieurs circuits simples. Chacun de ces circuits simple décrit dans un seul et même sens, délimite une aire partie qui est affeclée, dans toute son étendue, d'un seul et même sig