VII. — Intégration des lignes droites et brisées

286. La Ugne intégrale d'une droite parallèle à l'axe des abscisses est une droite inclim'e sur cet axe.

En effet, la ligne primitive donne sur OT un seul point A de projection, auquel correspond un rayon unique PA du faisceau P, et, par suite, une direction unique, commune à toutes les cordes et à toutes les tangentes de la ligne intégrale. Cette ligne est donc une parallèle au rayon PA. Il suffira, pour la construire, de connaître un de ses points et ce point sera lui-même déterminé par la valeur de la constante arbitraire.

287. La ligne intégrale d'une droite inclinée sur les axes est une para-bole du second ordre.

Soit ST {^g, 196) la droite donnée et soient OAo, AqA',^, ... les hauteurs, supposées égales, des trapèzes élémentaires du diagramme OST. Les ordonnées moyennes de ces trapèzes, projetées sur OY, déterminent le faisceau P (MM' M"...) et la ligne polygonale OBCDE..., inscrite à la courbe intégrale. Les ordonnées extrêmes des trapèzes se projettent aux points A, A', A'\ . . . , qui divisent en deux parties égales les segments égaux de la ponctuelle j^(MM'M*'. . .). Étendons successivement aux trapèzes qui ont pour hauteurs OAo,OA',, OA",, OA^, ... et pour ordonnées moyennes

correspondantes MoM,, AqAi, M', M',, A', A',, . . ., la construction appliquée aux trapèzes élémentaires. Nous obtiendrons ainsi, comme éléments correspondants aux rayons PM, PA, PM', PA', ... du faisceau P, les cordes OB, OC, OD, OE, .... inscrites à la courbe intégrale (â82). Les faisceaux 0(BCDE ... 1 et P(MAM'A' ... \ formés de rayons parallèles deux à deux, sont ^aux ; mais le faisceau P ( M A M' A' . . ) est perspectif an faisceau 00 (MAM'A' . . .), lequel est perspectif au faisceau oo (MoAo^', A', . . . ) et, par conséquent, projectifau faisceau oo ( A^A', A' . . . '. Donc ce dernier faisceau et le faisceau 0(BCD . . .) sont projectifs (G. 4-7) et engendrent une courbe du second ordre (G. 62). Ils n*ont dVdIeurs d*autre rayon uni que Taxe OY qui joint leurs centres. La courbe engendrée est donc une parabole (G. 97) dont les diamètres sont parallèles à OY (G. 125).

La tangente au sommet est perpendiculaire au même axe, c'est-à-dire parallèle au rayon PO correspondant à l'ordonnée du point d'intersection T de Taxe des x et de la droite donnée. Cette ordonnée est donc Taxe de la courbe.

Dans le cas qui nous occupe, les sommets F, G, ... de la ligne polygo nale circonscrite se coupent exactement sur les ordonnées moyennes Mq, M'q, . . . , qui sont les diamètres delà parabole intégrale relatifs aux cordes OB, BC, ... (G. 121).

288. Une construction inverse (284-) donne la droite ST, dérivée d'une parabole proposée, dont il suffit de connaître trois points quelconques B, C, D. Ces points déterminent, en effet, les cordes BC, CD, par suite les rayons PM', PM", parallèles à ces cordes, et les ordonnées 'm'>yennes M'^^M', , M^M' des segments Ai A',, A'^A' de la droite cherchée, dont on a ainsi deux points, M'^, M*.

On obtient par cette construction autant de points qu'on veut d'un segment parabolique dont trois points sont donnes; car il suffit d'intégrer la droite dérivée déterminée par ces trois points pour construire tous les autres.

Lit droite dérivée permet de résoudre avec la même facilité les problèmes suivants (*) :

Construire la tangente en un point donné de la parabole.

Construire un point de la parabole^ connaissant la direction de la tangente.

Construire une parabole du second ordre connaissant deux points et Ift tangente en un de ces points.

(') Massai-, loc. cit.. Livre II, n*" 89-91.

INTÉGRATION EXACTE DE COURBES PARABOLIQUES, ETC. 3y5

289. Lorsque le diagramme à intégrer se compose d*iine suite de rectangles jiixtiposés, la ligne primitive est formée de segments rectilignes alternativement parallèles à l'axe des x et à Taxe des x» Les segments parallèles à OX ont pour intégrales des segments inclinés compris entre les mêmes ordonnées (286). Chacun de ces segments intégraux a d'ailleurs son origine à l'extrémité de celui qui précède, car chacun des segments primitifs parallèles à OY ayant tous ses points sur une même ordonnée, son intégrale se réduit à un point. La ligne intégrale est donc un polygone rectiligne dont les sommets sont sur les mêmes ordonnées que les segments primitifs parallèles à Taxe des j.

Dans ce cas particulier, les ordonnées extrêmes et moyennes des segments primitifs déterminent^ par leur projection sur Taxe des Xf ^Q^ seule et même ponctuelle qui, projetée d'un même centre P, fournit, par la méthode des cordes (282) et par celle des tangentes (285 ), un seul et même polygone intégral.

290. Prenons comme ligne primitive le polygone rectiligne fourni par la précédente intégration. Chacun de ses côtés a pour intégrale un arc de parabole du second ordre, compris entre les mêines ordonnées (287). La corde de cet arc est une parallèle au rayon du faisceau P déterminé par l'ordonnée moyenne du segment primitif correspDndant. La division du diagramme partiel, limité à ce segment, en un certain nombre de trapèz3S élémentaires, donnerait lieu à un nombre égal d'ordonnées moyennes et permettrait de substituer à la corde totale de l'arc pirabjliqiie intégral un polygone de cordes plus ))etites dont les sommets seraient autant de j)oints de l'arc à déterminer.

Si Ton projetait sur OY, non plus les milieux des segments primitifs, mais leurs extrémités, on obtiendrait (285) les couples de tangentes aux extrémités des arcs intégraux. La projecti.m du jmint commun à deux segments consécutifs de la ligne primitive ne déterminant qu'un seul rayon du faisceau projetant et, pir suite, qu'une seule dire "tion de tangente, on voit que deux arcs paraboliques consécutifs de la ligne intégrale ont, en leur point commun, une tangente commune. Ces arcs se trouvent donc raccordés suivant une courbe continue, comprise entre le polygone des cordes et le polygones des tangentes.

Vin. — Intégration exacte de courbes paraboliques. Ordonnée moyenne.

Abscisse moyenne.

291. L'ordonnée du point milieu d'un segment de droite est exactement l'ordonnée moyenne de ce segment et, en même temps, l'ordonnée

sur laquelle se coupent les tangentes aux extrémités du segment correspondant de la ligne intégrale (287). C'est pourquoi les intégrations prëcédentesy i>ortant sur des lignes primitives exclusivement composées d'éléments i*ecti]ignes, ont donné exactement les cordes et les tangentes constituant les lignes polygonales inscrites et circonscrites aux lignes intégrales. Il n*en est plus de même lorsque la ligne primitive est une courbe et, dans la méthode que nous avons d'abord exposée, la décomposition du diagramme primitif en trapèzes élémentaires, dont les hauteurs sont des quantités jietites mais finies, ne |)ermet de déterminer que par approximation les côtés du polygone de cordes et les sommets du polygone de tangentes. L'approximation est presque toujours suffisante dans la pratique, et d'ailleurs le caractère essentiel de la méthode graphique est de ne comporter que des résultats approchés. On peut ce|)endant se proposer de substituer, dans certains cas, l'exactitude théorique a l'approximation. Il suffit pour cela de pouvoir déterminer exactement les ordonnées moyennes des arcs de la courbe primitive et les ordonnées qui correspondent aux abscisses moyennes des mêmes arcs. Les premières donnent, en efiet, les coefficients angulaires des côtés du polygone inscrit, les secondes fixent les sommets du polygone circonscrit. Nous donnerons d e cette double recherche des exemples appliqués aux courbes dont l'usage est le plus fréquent dans les opérations de quadrature, c'est-à-dire aux paraboles du second et du troisième ordre prises comme courbes primitives.

292. Considérons [Jfg. 196] un arc parabolique du second ordre déterminé par ses points extrêmes C, E, et par un point intermédiaire D dont l'ordonnée AçDrr:^, est à égale distance // des ordonnées extrêmes Aq C =-- jo et A^E ^^ j,. L'ordonnée moyenne x^ doit satisfaire a la relation

(1) 2///,„=:aireAoCDEA'o=/i(jo-t-^,)-f-aireCDE.

Mais les tangentes aux points C et E se coupent en un point L de l'ordonnée intermédiaire (G. 121) et l'on a, d'une part (G. 138), LD = DN, d'autre part (G. 255;,

aircCDE - - \ aire CLE ~^/t. DN.

Substituant cette valeur dans ( i ] et réduisant, il vient

.VoH-r, , 2 DN

L'ordonnée moyenne de l'arc parabolique CDE est donc égale à l'or-

nrrÉGBATioN exacte de cortiBES PARABoLiQrES, etc. 877

donnée intermédiaire diininuée du tiers du segment de cette ordonnée compris entre son extrémité et la corde de l'arc proposé.

293. Si l'arc parabolique est donné par ses points extrêmes C, E et par la tangente en un de ces points, cette tangente détermine, sur l'ordonnée intermédiaire, le point L, tel tjue LN — 2DN, et l'on obtient l'ordonnée moyenne en retranchant | LN de A^ L.

Ayant ainsi déterminé les ordonnées moyennes d'une suite d'arcs consécutifs de la parabole primitive du second ordre, on en déduit un polygone inscrit ït la parabole du troisième ordre qui est la courbe intc^jrale de la proposée.

c parabollrjue du tniisiême ordre étant donné par ses points extrêmes A, D {j!g- 197 ] et par deux points intermédia'

2!.^. Un

), C, tels

les ordonnées /g, j,, j-^ Ji soient équJdisL-inles, on exprime que les coordonnées des quatre points satisfont à l'équatiim j- ~ a ^ b.e -h ci:' ■+- rf.c' de k courbe et que, d'auti-e paii, l'ordouDre moyenne ^„ sulisraiti la relation ^„^ / j- <di'. On 1) ainsi cinq équations qui permettent d'éliminer les coefficients a, b, c, d et dobtcnîr

. J.^3j-,-t,V,-^,.OF-.-30F.„„ , 3„

On a donc l'exti'émité 1 de l'ordonnée moyenne en prenant le quart El ■lu segment EP de l'ordonnée intermédiaire compris entre les coi-des AD,

295> Lorsque l'arc parabolique du troisième ordre est donné par ses

deux points extrêmes A, D et par les tangentes AM, DN en ces points, deux des cinq équations précédentes, exprimmt que les points B et C appartiennent à la courbe, sont remplacées par deux autres, exprimant que les dérivées de la courbe aux points A, D satisfont <i la relation

1 '= ^ -h 2rx -4- 3 dx*.

On est alors conduit, par l'élimination des coefficients, k la relation

dans laquelle y^ > j's sont respectivement des dérivées de^©* J'i* ^' étant la moitié de la distance A'D' prise négativement de en A' et (>ositivement deO enD'.

L'ordonnée de la tangente AM, à la distance A'H' = - de^-^,, est

H'H=ro i-ô/o-

Pareillement, l'ordonnée de DN, a la distance D' C'=: - de^,, est

Par suite.

L'extrémité I de l'ordonnée moyenne est donc à Tintersection de HK. et de l'ordonnée intermédiaire OM.

On peut encore remarquer que