INTÉGRATION EXACTE DE COURBES PARABOLIQUES, ETC

points qu'on veut d'un arc de parabole du troisième ordre dont on connaît deux points AjBi [fig* '9^) c^ l^s Lingentes en ces points. On trace, à cet effet, les rayons PAj, PBj, PC, du faisceau P, respectivement parallèles aux deux tangentes et à la corde AiB]. Ces rayons déterminent les ordonnées extrêmes AqA, BqB, et l'ordonnée moyenne CoC de l'arc AB, dérivée de A,Bi. On prolonge CoC de la quantité CT = aDC. On a ainsi (293) le point T d'intersection des tangentes en A et en B et, par suite, ces t«mgentcs

Fig. 198.

elles-mêmes. L'arc parabolique du second ordre AB étant dés lors déterminé, on peut construire (288) autant de points qu'on voudra de cet arc et, par voie d'intégration, autant de points qu'on voudra de l'arc A,B,.

297. On nomme abscisse moyenne d'un arc de courbe AB [fig. 198 on du diagramme superficiel compris entre cet arc, les abscisses à ses extrémités et l'axe des/, la hauteur D,E du rectangle équivalent de même base A2B,.

Le point d'interset^tion des tangentes aux extrémités d'un arc de la courbe

38o CALCUL GRAPUIQUB. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPim.. ..

intégrale a pour abscisse l'abscisse moyenne de l*arc correspondant de la combe primittpe,

I^s tangentes TiA|, TfBi aux extrémités de Tare AiBi, intégrale de Tare primitif AB, constituent elles-mêmes la ligne intégrale de la ligne brisée AMNB (289). I.a corde Ai Oi, commune aux deux intégrales, correspond à un seul et même rayon PC, du faisceau P, par suite à une seule et même ordonnée moyenne CoC, commune aux deux diagrammes primitifs AoARBBo, AqAMNBBo. Ces diagrammes étant dès lors équivalents, il en est de même des aires Aj ARBB,, A2MNB2 qu*on obtient respectivement en retranchant les diagrammes piîmitifs de Taire AgAA^B^BBo. Donc Tabscisse A, M du point Ti est Tabscisse moyenne de l'arc AB. Ainsi se trouve généralisée la proposition précédemment étiblie (G. 121) pour le cas où la courbe intégrale est un arc parabolique du second ordre.

298. La détermination exacte des abscisses moyennes relatives aux arcs consécutifs d'une courbe primitive donnée permet de construire exactement» } ar le procédé du n** 285, un polygone circonscrit à la courbe intégrale.

L*abscisse moyenne D^E du diagramme limité par une courbe parabolique AB, du second ou du troisième ordre, rapportée à l'axe des^, s'obtient évidemment par les procédés âéjh indiqués [291 à 295) pour la détermination de l'ordonnée moyenne C^C du diagramme relatif à la même courbe, rapportée à Taxe des .r.

Il existe d'ailleurs, entre l'ordonnée moyenne et Tabscisse moyenne d'un arc de courbe, une relation qui permet de construire l'une de ces deux valeurs quand on connaît l'autre.

Portons, en effet, l'ordonnée moyenne de l'arc AB en CoC, sur l'ordonnée située a égale distance des extrémités de l'arc, et menons par le point C la parallèle Jll ù la corde AB. Les diagrammes A^ARBBo, AqJHBo, ayant même ordonnée moyenne, sont équivalents; par suite, le segment ARB est c'quivalent au parallélogramme AJHBet aussi au parallélogramme ALRB qui a même base et même hauteur que le précédent. On en déduit que les aires B^BRAA,, B^KLAs sont équivalentes et que les lignes BRA, KL ont même abscisse mcyenne D,E. Donc Pordonnée moyenne et l'abscisse moyenne de l'arc AB, portées respectivement sur l'ordonnée CqC et sur l'abscisse D^E situées ii égale distance des extrémités de Tare, ont leurs extrémités sur une parallèle EC à la corde AB. Cette propriété permet de construire, D, E connaissant CqC, et vice versa,