MÉTHODES APPROCHÉES

moyennes présente des difficullés croissantes pour les ures paraboliques de degré supérieur au troisième. Cette détermination est d*ailleurs impossible dans un très grand nombre de cas^ notamment quand on opère sur des courbes, non plus géométriques, mais graphiques (97). On doit alors recourir à des méthodes approchées. Ces méthodes consistent, en général, à diviser les courbes proposées en petits arcs qu'on assimile ensuite à des arcs de courbes dont on sait déterminer l'abscisse ou l'ordonnée moyenne.

Lorsqu'on substitue aux arcs primitifs les petites cordes rectilignes qui les sous-tendent, la méthode approchée est celle des trapèzes élémentaires, que nous avons exposée tout d'abord.

Lorsque les arcs substitués sont des arcs paraboliques du second ordre, la méthode approchée est la traduction graphique de celle de Simpson (233] et l'on applique à la détermination des ordonnées moyennes les procédés des n«» 292 et 293.

On substitue quelquefois des arcs paraboliques d'ordre supérieur au se* cond, lorsque la courbe primitive présente des points d'inflexion. Si ces arcs sont du troisième ordre (^], on détermine leurs ordonnées moyennes par les procédés des n"* 29i et 295.

300. On peut déterminer la limite de Terreur commise dans une intégration graphique approchée par une méthode imitée de celle que Poncelet a proposée pour les quadratures approximatives (234). A cet effet, on con sidère successivement deux lignes exactement intégrables, et telles que leui*s mtégrales soient, Tune plus grande, Pautre plus petite que l'intégrale de la courbe proposée. L'erreur, en plus ou en moins, que Ton commet en adoptant l'une ou l'autre des deux intégrales exactes est plus ])etite que leur différence; elle est encore réduite quand on prend la demi-somme des deux intégrales. Les lignes substituées sont, le plus souvent, des polygones rectilignes, l'un circonscrit, l'autre inscrit à la courbe proposée.

Soit [fig. 199] AG la courbe primitive. Divisons sa projection, AoGq, sur Taxe des x, en un nombre pair de petits segments égaux, et menons les ordonnées des points de division. Les points B, D, F sont les extrémités des ordonnées moyennes des tangentes à la courbe en ces mêmes points. On obtiendra donc, par les parallèles aux rayons du faisceau P(B'D'F'), la ligne polygonale A^CiEj Gf, intégrale du polygone circonscrit à AG.

Le premier côté Ai Ci de cette ligne coupe l'ordonnée BqB au point B,,

(*) Voir, Sur la quadrature des paraboles du troisième degré, une Communication de M. le général Pasmesitibr à Y Association française pour l'avancement des Sciences, Congrès de Montpellier; 1879.

que nous prenons coninie origine dUnlégration de la ligne polygonale inscrite BDF. L'intégrale de cette ligne, construite par la méthode de l'abscisse moyenne, se confondra avec la partie BtCiEfFi de l'intégrale précédemment obtenue. Restent les côtes extrêmes AB, FG du polygone inscrit ABDFG. L'intégrale de AB a pour tangentes à ses extrémités, d'une part BiAi, d'autre part, la droite MN, parallèle au rayon PA, qui passe parle point d'intersection de BiAi et de Fabscisse moyenne de AB, c'est-à-dire par le point milieu M de BiAi. Pareillement, les tangentes aux extrémités de l'intégrale de FG sont, d'une part FiGi, et d'autre part la droite RS, menée par le milieu R de Fi Gi parallèlement au rayon PG' . Les polygones inscrit et circonscrit à AG donnent donc respectivement les int^rales N'S et a', Gi, entre lesquelles se trouve comprise l'intégrale exacte de AG. Si Ton adopte l'une ou l'autre des intégi*ales limites, on commet une

Fig. 199.

erreur moindre que leur différence A', Gi — N'S = SGi — W'A',, et cette erreur est encore réduite quand on prend la moyenne entre les deux intégrales limites.

301. Dans le calcul graphique des mouvements de terres, exposé au Chapitre XI, les constructions qui conduisent des aires aux volumes (2S2j et des volumes aux moments de transports (257) consistent en deux intégrations graphiques successives grossièrement approchées. C'est ainsi que, par la projection des ordonnées moyennes (282), on a obtenu (252) le proiil de distribution, qui est une ligne polygonale inscrite à la courbe intégrale du profil transformé, courbe composée (287) d'une suite d'arcs rac-