CO AU DO BV

AC UO ' BD VÔ "" ' ' d'où (G. 50)

AU 0U ^.^Z — QY^^ '^^ ÂG'ÔC ""' ~~BD Ol3"" DB'Ôb'

Les rapports anharmoniques (AUOC), (DVOB) étant égaux, les ponctuelles décrites sur OA et sur OB par la droite mobile sont projectives (G. 52). Ces ponctuelles ont d'ailleurs comme point uni leur intersection 0; donc elles sont des sections d'un faisceau de rayons du premier ordre S (G. (^5).

396 CALCt'L GRAPHIQUE. -— NOTES ADDITIONNELLES DU TRADUCTEUR.

La relation (1)» à laquelle satisfont tous les rayons du faisceau S, peut être considérée comme Téqpation du point S, et, en général, toute relation de la même forme est Téquatîon d'un point.

Réciproquement, si une droite pivote sur un point S, ses coordonnées tangentielles satisfont à la relation ( 1 ) et Ton peut, en attribuant à Tun des trois coefficients X, ^, v une valeur arbitraire, déterminer les deux autres de manière que cette équati(m représente le point considéré.

316. Lorsque la base ÂB est la droite à Tinfini du plan, les rapports

entre segments infinis j^t — sont tous deux égaux à Tunité (G 197);

le point C est en I sur la parallèle h OB, le point D en J sur la parallèle à OA et la relation [ 2 ] donne

La droite UV a, dans ce cas, pour coordonnées, les valeurs inverses des segments OU, OV compris entre l'origine et les points où les axes sont respectivement rencontrés par cette droite (']. Les rapports de coefficients

sont les coordonnées cartésiennes du point S.

(*) C'est le système de coordonnées tanijentielles plus spécialement dénommé système pVùckerien, Il correspond directement, suivant la loi de dualité, au système de coordonnées do Descartes. Le système tan[;enliel plus général, considéré au n" 315, correspond, en effet, à un système ponctuel dans lequel l'équntion d'une droite est la relation linéaire entre les segments respectivement interceptés sur les axes OB, OA par les faisceaux A, B, dont les rayons correspondants se coupent deux à deux sur la droite considérée. Un point S do cette droite, situé à l'intersection des rayons correspondants AD, BC, a, dans ce cas, pour coordonnées les rapports p- 1 -—-' Si la

base AB passe à l'infini, l'équation ponctuelle de la droite subit une transformation analogue à celle que nous menons d'établir (31G) pour l'équation tangentielle du point, et le système de coordonnées considéré devient précisément celui de Descabtbs. (CuASLES, Traité de Géométrie supérieure, p. 3i5 et suiv. Paris, 1880.) Sur les coordonnées suffisantes do Descartes et les coordonnées surabondantes (triangulaires et polygonales) de Bobillier, voir Annales de Gergonne^ t. XVIII, p. 334) i^^7> ®t Paul Sebret, Géométrie de direction^ p. i et suiv. Paris, i86g). Sur fes coordonnées cartésiennes comme cas particulier des coordonnées trilinéaires, voir Salhon, Traité de Géométrie analjrtique, traduction française, p. 96. Paris, 1880. Sur la corrélation entre le système trilinéaire, qui définit la position d'un point par les rapports mutuels de SCS distances à trois droites fixes, et le système tangentiel, qui définit une

NOTE I. — COORDONNÉES TANGBNTIELLES. 897

317. Supposons les points A et 6 a distance finie et le point à l'infini. Les axes sont alors parallèles [fig* 206), les rapports -— ? -— - sont égaux à Funité et la relation [1) devient

aV^"^b^«^ = '-

Fig. 206.

La droite UV a donc pour coordonnées les segments AU, BV, pris avec leurs signes et les

rapports de coefficienls - » - sont les inverses