PS, Z
^t, en désignant par j' l'ordonnée PC;„-i du point C;„-|, transformé du i^oint Si,
En opérant la transformation pour tous les points du contour M|N| et prenant l'intégrale le long du troisième contour ainsi obtenu , on a
/l-f-lj*^' /l-rl J -^
Une double transformation anamorphique, effectuée au moyen du com- .as et de la règle, a donc fourni un contour fermé dont Paire, multipliée t^^ar un facteur constant, donne l'intégrale cherchée.
311. La méthode s'étend au cas où les exposants m, n, sans cesser ^'étre entiers, ne sont pas tous deux positifs. Il suffit, en effet, pour aug- ^nenter d'une ou plusieurs unités l'exposant d'une des deux variables, ^'effectuer un nombre convenable de fois la construction inverse de celle
^ui a permis de réduire le même exposant.
C'est ainsi que, pour élever d'une unité l'exposant de ^, on mènera
^fig. 202) TA— 1 parallèle à SO; et, pour élever d'une unité l'exposant de
-3:, on mènera {^g> 2o3) par le point Uo d'intersection de OSj et de VUi
l.a parallèle UoC i à OX^ La méthode serait seulement en défaut pour
312. Dans le cas des exposants négatifs, on trouve quelque avantage à modifier la construction de la manière qui va être indiquée.
Considérons l'intégrale double
dx dy, qui devient
dx
quand on fait porter la première intégration sur jr. Le procédé du n® 309 permettrait de réduire le coefficient de ^ à l'unité, mais l'exposant négatif de X serait en même temps diminué d*une unité et Ton aurait à considérer
/y (Le - — ^- Pour éviter cet inconvénient, on commence la construction relative k chaque point S du contour primitif h transformer [/ig. 2o4 ) en joignant le point T, non plus à Torigine, qui est à la distance
Fiç. ao}.
variable PO = x du pied P de l'ordonnée, mais à un point C, pris à la distance constante PC = c de P. On mène alors SA| parallèle à TC, SA, parallèle à TAi, SA, parallèle à TA,, et le point Sj, tel que PSj =: PA„ est le transformé du point S. On a alors ( 309 )
PAa PC
Xi X
ou •— = --
et, par suite.
ÔJ x 6c J jc
On prolonge ensuite OSi jusqu'en U; on mène US' parallèle à Taxe des x et le point S' est le transformé définitif du point S; car on a
d*où
OV OP b n
Tcf'-i'^^=3ircf'''^''
INTÉGRATION GRAPHIQUE PAR ANAMORPHOSE. SqS
313. On a vu que la méthode est en défaut lorsque x et y ont simultanément pour exposant Tunitë négative. Si Ton avait à évaluer l'intégrale double
^dxdy
If
xjr
prise k l'intérieur d'un contour donné, on transformerait ce contour en faisant correspondre à tout point [x, j], pris sur son périmètre, un point (x'j x'] déterminé par les relations
x' — logx, y~logj.
L'aire du contour transformé
dx'dy
serait alors égale h l'intégrale (i) prise à l'intérieur du contour primitif.
Ce procédé d'anamorphose analytique est applicable à toutes les intégrales doubles de la forme
if{x)^(r]dxdjr.
Note I. — Coordonnées tangentielles (*).
314. Dans le système cartésien, la position d'un |)oint S du plan [Jîg, 2o5 ] c7
Fîç. 2o5.
est de'finie par son a!)scisse SI ~ : jc et par son ordonnée SJ = ^. Une courbe est déterminée, dans le même système, par une relation, /(x,j]=o, entre les coordonnées de ses points. Lorsque la relation est du premier degré, la courbe est une ligne droite.
On peut considérer une courbe, non plus comme le lieu d'un point mobile, mais comme l'enveloppe d'une droite mobile. Dans ce cas, l'écbange des éléments point et droite, efiéctué conformément à la loi de dualité G. 20 , conduit à définir une droite quelconque du plan par une abscisse u et par une ordoimée •», et à déterminer une courbe par la relationy (//, i^' = o, entre les coordonnées des droites qui lui sont tangentes. La courbe se réduit à un point lorsque les droites sont concourantes. On donne aux. coordonnées de ce nouveau système le nom de coordonnées tangentielles.
(') CiiASLLS, Traité de (léomctrie supérieure, p. 3oi, 3*", 2* cdil. Paris, i8So. — l'tLix LiXAs, Etudes analy tiques sur la théorie générale des courbes planes^ p. 63, <)(), 233, Paris, iS()|.
NOTE I. — COORDONNÉES TANGENTIELLES. SqS
Si A, B sont deux points fixes, respectivement situés sur les axes OA, OB, une droite quelconque UV, qui rencontre les mêmes axes aux points
U, V, aura, en coordonnées tangentielles, ^r^ = u pour abscisse, — = v pour ordonnée.
315. Si les coordonnées éCune droite mobile ont entre elles la relation linéaire
dans laquelle >, f*, v sont des coe fficients constants, cette droite pivote sur *#/! point ^xe.
AD étant la position de la droite mobile quand elle passe par le point A,
«•Ha
BD
DO
«it, par suite,
IJL DO
BC étant la position de la droite quand elle passe par le point B, on a
AC
«t, par suite,
