PS

322. A tout système de valeurs des coordonnées tangentielles a et p correspond une droite et une seule. Si Ton donne, entre u et p, une relation, /(«, p) =0, et si Ton fait varier Tune de ces coordonnées d'une manière continue, l'autre variant aussi d'une manière continue, la droite se déplace dans le plan et enveloppe une courbe dont l'équation, dans le système considéré, est

/(tt, ç) =r o.

Si réquation est algébrique et du degré m, la courbe qu'elle représente est de la /;i>*»"« classe, c'est-à-dire qu'on peut lui mener m tangentes (réelles ou imaginaires) par un point quelconque du plan.

On détermine, en effet, les tangentes qui concourent au point représenté par l'équation (i) en remplaçant u par v — pc dans la fonction proposée. On a ainsi la nouvelle équation

/(v — iiv, v) =0,

dont les racines sont les ordonnées des m tangentes cherchées. La courbe admet donc m tangentes passant par un même point.

323. Deux droites dont les coordonnées sont respectivement tt^etP], «2 6t P|, se coupent en un point dont l'équation est

(' C, I', Pjj

// //| Ui — Uf

32^. Si une droite, dont les coordonnées sont i/i, Pj, est tangente à la courbey(//, p) =: o, l'équation du point de contact sera

p Pi fii'i , , flf , <if

=Z ,— ou (M — //,)-T h(P— P|)^— = 0.

u — «1 du Y du Y dt'i

325. Soit /{u, p) l'équation d'une courbe de la classe m et soient a, p les coordonnées d'une droite. Si deux tangentes infiniment voisines ont respectivement pour coordonnées w, p et 1/ -h //, p -+- /*, on a

En se bornant aux infiniment petits du premier ordre, on a /{u-\- /i, P4- k)=if^u, v] -\-/i/,,[u, p) -4- /•/,>, «•);

soity à cause de (x) et (2),

Les deux tangentes infiniment voisines se coupant sur la droite (a, p on a

substituant dans (3), il vient

Les équations (i) et [4)9 prises simultunément, déterminent les tangentes {u, v) à la courbe donnée, aux points où elle rencontre la droite

326. Les propriétés précédentes, établies pour les systèmes plans, s'étendent aussi aux espaces. Ainsi (^) :

Si l ^on prend sur les arêtes d 'un angle trtcdre trois points tels que les valeurs inverses de leurs distances au sommet de l'angle aient entre elles une relation constante de degré m, le plan mobile déterminé par ces trois points enveloppe une sur/ace géométiique à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite.

Si la relation est du premier degré, le plan mobile passe constamment par un point fixe.

Et réciproquement :

Tout plan tangent à une sur/ace géométrique y rapportée à trois axes concourants quelconques f rencontre les axt s en trois points^ tels que les valeurs inverses des distances de ces points à l'origine ont entre elles une relation constante, d'un degré égal au nombre de plans tangents qu* on peut mener à la surface par une même droite,

La relation est du premier degré lorsque là surface se réduit à un point.

De nième en coordonnées parallèles :

Si y a partir de trois points fixes y pris respectivement sur trois axes pa-

(') CuASLES, Mémoire de Géométrie sur deux pi incipes généraux de la Science : la dualité et VhomographiCf faisant suite à V Aperçu historique, etc., a* édit., p. 63i, Paris, 1876.

NOTE II. — RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES, ETC. 4oi

rallèles, non situés (tans un même plan, on porte trois segments (le lon^ gueurs variables ayant entre eux une relation constante de degré m, le plan mobile déterminé par les extrémités de ces segments enveloppe une surface géométrique à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite. Le plan mobile passe constamment par tin point fixe lorsque la relation est du premier degré.

Et réciproquement.

Note IL — Résolution des équations numériques. Méthode

de M. Maurice d'Ocagne.