On a vu (174., 175) que réquation

en coordonnées cartésiennes, représente un conolde dont les génératrices sont projetées orthogonalement sur le plan directeur pq^ suivant les droites définies par les équations linéaires qu*on obtient en attribuant des valeurs successives au paramètre variable x; que l'enveloppe de ces droites est une courbe, dite solutive (*), de Tordre et de la classe déterminés par le degré de Téquation proposée; que, dès lors, si Ton assigne comme cote à chaque droite du Tableau la valeur correspondante de x, on obtient les racines réelles de toute équation particulière, x'» -h //jx 4- Çj = o, dans laquelle /?!, 7i sont des coefficients numériques, en lisant les cotes des droites tangentes qui concourent au point pi^i.

On conçoit a priori que, en vertu de la loi de dualité, Tusage des coordonnées tangentielles doit conduire à une solution corrélative, dans laquelle les ponctuelles, déterminées par les équations des droites cotées qui les contiennent, seront remplacées par des faisceaux de rayons, déterminés par les équations de leurs centres. A la suite continue de droites enveloppant la courbe solutive du premier système correspondra, dans le second,

(*) Cette courbe est la projection orthogonale sur le plan pf de la ligne de striction, lieu des points centraux des génératrices du conoide. Le point central d'une génératrice est le centre de la ponctuelle involutoire (G. 197) formée par les points de contact des couples de plans tangents rectangulaires (G. 199) qui contiennent cette génératrice. Le point central, conjugué du pointa l'infini de Tinrolution, est le point de contact du plan tangent perpendiculaire au plan asymptotique de la géné~ ratrice, c'est-à-dire du plan tangent perpendiculaire au plan directeur du conoide (De la GoCR*fEBiB, Traité 'de Géométrie descriptive, a* partie, Paris, 1880, p. i48 et iS}, — FiEDLEB, Die darstellende Geomrtrie, Leipzig, 187 1, n" 93, 107-108).

une suite continue de centres formant une courbe solutîve; et, de mémo que chaque ponctuelle a un point commun avec la première courbe, chaque faisceau aura un rayon tangent à la seconde. EnQn, les valeurs des racines d*une équation proposée seront déternjînées, non plus par des droites dont on connaît un point et la courbe enveloppe, mais par des faisceaux dont on connaît un rayon, en même temps que la courbe lieu de leurs centres. L*avantage du nouveau tracé consistera donc à lire les cotes des points d*intersection d*une courbe et d'une droite donnée, au lieu de lire les cotes des droites tangentes à une courbe et passant par un point donné (^).

328. A la méthode de M. Lalanne, pour la résolution des équations numériques de tous les degrés, correspond, d'après les considérations qui précèdent, une méthode corrélative proposée j)ar M. d*Ocagne(*).

Soient k, p, w des distances variables, portées sur trois axes parallèles, à partir de trois points fixes respectivement pris sur ces axes. Les systèmes

(^) 11 convient de remarquer, toutefois, que, dans la méthode si simple proposée par M. Lalanne, les droites du Tableau peuvent être construites d'après leurs équations respectives, indépendamment de la solutive qui les enveloppe, et en évitant, par conséquent, la difficulté graphique qui consiste à mener, par un point donné, une droite tangente à une courbe donnée. Dans le cas de l'équation du troisième degré px -h q ■- o, dont Tabaque est représenté par lay^. ii5, les droites cotées peuvent

être facilement construites de la manière Fig. 20"^. suivante (37) : On prend {Jîg. 207) OP^i,

OA :-= J7, on mène AB perpendiculaire sur AP. KC perpendiculaire sur AR. La droite BC représente Téquation proposée lorsqu'on assigne à/» et à 7 les valeurs particulières /»,, ^,, qui déterminent l'un quelconque M de ses points. On a, en effet (J. Massac, Mémoire sur l'intégration graphique^ etc., liv. III, p. 19),

BO

^ jr'

et

d'où

(-) Maurice d'Ocagnb, Procédé nouveau de Calcul graphique, dans les Annales des Ponts et Chaussées, Paris, i88'|, a» sem., p. 53i-54o. Voir aussi, du même auteur: Étude de deux systèmes de coordonnées tangentielles dans te plan : coordonnées parallèles et coordonnées axiales, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques. Pari», 1884, p. 410 ^t suiv. Ces deux Études ont été réunies dans un Mémoire tiré à part. (Paris, Gauthier- Villars, i885).

NOTE II. — RÉSOLUTION DBS ÉQUATIONS NUMÉRIQUES, ETC. 4o3

•de valeurs des variables satisfaisant à rdquation

{ I ) w'* -\^ ua' -i- » = o

sont (326) les coordonnées parallèles d*un plan mobile qui enveloppe lu surface de la classe n représentée par cette équation. Lorsque réquatioii «st du premier degré, la surface se réduit à un point et tous les plans tangents appartiennent à une même gerbe (G. 6) dont ce point est le centre.

329. Si Ton assigne à w une valeur particulière - 9 Féquation ( i ) devient

Cette relation du premier degré, entre les variables u et p, peut être considérée ( 315) comme féquation d*un point S situé sur le plan des axes a et V, On construit ce point {^g. 106) comme intersection de deux quelconques des trois droites AD, BC, PS. On obtient les droites AD^ BG en joignant Torigine A au point D, déterminé (320) par la relation

va'* BD r:r - = ;;> «^ l'origine B au point C, déterminé pareillement par

la relation AC = - = -— r • On obtient PS en menant une parallèle aux

axes par le point P qui divise AB (318) dans le rapport

PA u

Pb^"T

On peut aussi (321) déterminer le point S en portant dans la direction de PS, à partir du point P, la longueur

PS = r — —

330. En attribuant à - des valeurs successives, on obtient, pour chacune

d'elles, un point S, qui est situé entre les axes u et i' si l'on a eu soin de ne prendre que des \9L\eurs posiiives (318). A côté de chaque point S, on

inscrit sur l'épure la valeur de - qui Ta déterminé et Ton raccorde la

Suite des points cotés par une courbe continue qui est la soluthe du nou vel abaque.

L'élimination de vi^ entre Téquation proposée et sa dérivée par rapport à «V donne l'équation à laquelle doivent satisfaire les coordonnées // et p de cluicune des tangentes à la solutive.

4o4 CALCUL GRAPHIQUE. — NOTES ADDITIONNELLES DU TRADUCTEUR.

Quand on fait BD ou ;î = o, le rapport „ = — t devient infini, le

point S se confond avec le point B et les coordonnées £< , p de la tangente en S sont nulles. La courbe est donc tangente à la base AB au point B.

PA

Si Ton fait BD = oo , on a en même temps AD = 00 et — = o. Le

point P vient en A, le point S est le point à i*infini de la direction des axes, et la courbe est asymptote à l*axe des u.

Dans le passage de la position BA à la position AG, la tangente 8*est déplacée d*une manière continue, ses coordonnées u et p croissant graduellement, la première de o à — 00 , la seconde de o à + 00 ; en sorte que la courbe enveloppe, dans la partie comprise entre les axes, s*infléchit d*une manière continue, sans points de rebroussement ni points d'inflexion.

La parallèle aux axes menée par le point milieu de AB, pour lequel le

qu'on le vérifie en faisant l = pdans l'expression donnée plus haut de PS.

rapport r = 1 9 coupe la courbe à la distance PS = — | de la base, ainsi

331. Assignons k u et k v, dans l'équation (i), les valeurs numériques ^1, Cl. La droite dont ces valeurs sont les coordonnées rencontre la courbe en des points dont les cotes sont des racines positives (330) de l'équation proposée.

Pour avoir les racines négatives, il faut remplacer w par — tv dans l'équation, ce qui revient à changer le signe de Ui, quand n est pair, et le signe de ^i, quand n est impair. Les racines sont alors les cotes des points de rencontre de la solutive avec la droite ( — #<i, P|) dans le premier cas, avec la droite {u^ — v^) dans le second.

332. Les points de rencontre étant ordinairement situés entre deux points cotés, on évalue les racines, d'après les cotes de ces derniers points, par une simple interpolation à vue. On peut aussi lire les racines sur l'échelle graduée de l'un des axes, de celui ,des p par exemple. Il suffit pour cela de mener la droite qui a pour abscisse a = 4- i et qui passe par le point P, projection sur la base AB du point de rencontre relatif à une racine. L'ordonnée p de cette droite est la racine cherchée, car on a (318)