AC

On peut éviter les constructions effectives sur le tableau en traçant une droite indéfinie sur un transparent mobile. Quand on place cette droite dans la position déterminée par les coordonnées particulières u^^ç^^ elle coupe la solutive en des points dont les cotes sont les racines de l'équation numérique.

333. La fig. 208 représente la solutive pour Téquation du troisième

Fig. 208.

'..SJ

■■Xâ

Jb

degré w* 4- aw 4- p = o. Si Ton fait u = — 7, p = 4- 6, les racines positives w=i, (V = 2 de réquation sont données par la droite MN qui joint la division — 7 des u kh division 4- 6 des p. La racine négative w = — 3 est donnée par la droite MP qui joint la division — 7 des u kla division — 6 des p (331).

334. Si l'on prend la base AB comme axe des x. Taxe des u comme

4()6 CALCUL GRAPniQUE. — NOTES ADDITIONNELLES DU TRADUCTEIR.

axe des > , on a et par suite (329)

L'équation de la solutive en coordonnées cartésiennes est donc, après réductions^

On pourra obtenir cette courbe en construisant d*abord (303, 305) Li

parabole .)• = j -\- Sx' — 3/.r + /', et en appliquant ensuite la mé-

thode de transformation du n^ 306.

Les mêmes constructions s'étendent au cas général où^ Téquatton proposée étant du degré n en w^ l'équation transformée est du même degré en x,

335. Si réquation tangentielle proposée est du second degré m w, réquation cartésienne de la solution devient

IJT.

C'est la forme de Téquation d'une hyperbole du second ordre asymptote à Taxe des j.

336. Dans l'équation du second degré w^ -\- u^w -^ %\ = o, le coeflicieni Mi (au signe près) et le coefficient P| sont respectivement égaux à la somme et au produit des racines. Dès lors, la droite qui passe par les points de la solutive cotés a, a' coupe Taxe des tt à la division 2 + a', Taxe des i" à la division aa% et la solutive permet d'opérer l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division de deux nombres donnés.

Si le point coté a' vient se confondre avec le point coté a, la tangente ù la solutive en ce dernier point coupe la partie positive de Taxe des p à la division marquée a*. La solutive permet donc d'élever un nombre au carré. Le tracé de la tangente est facilité par cette considération qu'elle coupe Taxe des ic à la division — 2 a.

L'extraction de la racine carrée est ro|>ération inverse de la précédente : on peut l'effectuer en résolvant l'équation «»' — ^ = o, c'est-à-dire en traçant la droite qui passe par l'origine A de l'axe des u et par la division — h de l'axe des v.

NOTE III. ~ aBGTIFICATION GRAPHIQUE DES LIGNi£S DE BORNAGE. 407

Note m. — Rectification graphique des lignes de bornage.

337. Soient X, Y, Z [fig. 209) trois points pris arbitrairement sur les Cotés /y /7i, n d*un triangle ABC. Nous aurons, en tenant compte des conventions relatives P»&- ^^•

aux signes des aires (80),

ABC -+- AYZ = BCYZ, A^:ll i:-.C ^^

BCYZ -h BZX =: YZXC, YZXC -t- CXY TT XYZ

et, par suite,

XYZ = ABC -4- AYZ -4- BZX -+- CXY.

Lorsque le second terme de cette égalité est nul. Taire du triangle XYZ est ^ale à zéro et les points X, Y, Z sont en ligne droite.

338. Prenons à volonté, respectivement sur les droites /, w, n [Jig. 210),

les points F, G, H et, par l'un quelconque G de ces points, menons à la droite qui joint les deux autres la parallèle GE qui coupe / en E. Nous aurons (337]

FGH = ABC -4- AGH -h BHF h- CFG, soit, en remarquant que

FGH=rFEH = — FHE et BHF -+^ FHE — BHE.

(i) ABC -f- AGH 4-EHE-hCFG — o.

Prenons sur les droites /, ///, n les points X, Y, Z, tels que

AYZ -- AGH, BZX = BHE, CXY — CFG ;

Jd8 CALCl'L GBAraïQUE. — ROTES ADDITIONNELLES DU THADUCTECB.

aous nurons, en subslititant dnns (i),

ABC -t- ATZ + BZX + CXY = o ;

d'où il suit (337) que les poînls X, Y, Z, satisfaisant aux relatioDS (s), sont en li^jne droite.

/, m, n [fig. an)

sont respectiveraeni trois toriiei F, G, II; deax parxcltes, comprises entre l et m, sont séparées par la ligne FG ; deux autres parcelles, comprises entre m et n, sont séparées parla ligne GH. On propose de substituer à la ligne brisée FOH une ligne droite XYZ, telle que les points X, T, Z soient reipeciivement sur les droites l, m,n et que les contenances des quatre parcelles ne soient pas changées.

On détermine le jioint d'interseclion E de In droite / et de la parallèle menée par le point G h FH. On prend comme éléments d'une ponctuelle t>, située sur /, une suite quelconque de points V[, Vi, V], .... On mène par le |>oint F une suite de rayons, respectivement parallèles à GV,, GV,, GVi, . . . , qui déterminent sur m autant d'éléments Tj, Tj, T]. . . . d'une ponctuelle y. On mène, par le j>aint G, des rayons respectivement parai-