OA — OA

ainsi déterminés forment une progression géométrique dont la raison OB

est TT— •

A côté du triangle AOB on construit le triangle BOC| = BOC, il coté de BOC| le triangle C|OD|r=COD, puis le triangle D,OE| = DOE,et ainsi de suite. Les côtés AB, BC|, CiD|, D|Ë| y ..., respectivement égaux aux transversales parallèles el antiparallèles AB , BC, CD , DE , . . . , forment une ligne polygonale ouverte ABC|D|E| . . . , dont un côté LM coïncide avec Tune des transversales de l'angle LOM lorsque le rapport de cet angle à quatre angles droits est un nombre pair.

Tous les triangles qui ont le point O pour sommet et un côté de la ligne polygonale pour base sont semblables.. Les figures que l'on obtient en réunissant un certain nombre de ces triangles consécutifs sont aussi semblables, comme composées de triangles semblables et semblablemenl placés. Donc , tous les angles LMO, K.iLO, ïjKiO, ..., FjGjO, ... sont égaux; les angles K^MO, fjLO, H|KiO, ..., ÉiGiO, ... sont aussi égaux ; et il en esl

(le même des angles liM O, HiLO, GjKj O, . . . , DjGiO, En

{général, tous les triangles ayant pour sommet commun le point O el pour bases les cordes qui sous-tendent un même nombre de côtés du contour polygonal sont semblables, et les angles au centre sous-lendus par les mêmes cordes sont égaux.

Ces propriétés sont indépendantes de la grandeur arbitrairement assignée à l'angle LOM dans la construction du premier triangle élémentaire. Elles ne cessent donc pas d'exister si l'on suppose

44 ClLCtX GftiHIIQCB. — CHAHTIB 11.

Tangle LOM infiniment petit. La ligne polygonale se transforme alors en une courbe spirale continue, dont les tangentes successives sont les bases infiniliient petites des triangles élémentaires. Mais ces triangles restent semblables entre eu\ et leurs angles homologues à la base restent par conséquent égaux. Donc :

Toutes les tangentes à la courbe spirale limite de la ligne polygonale rencontrent sous des angles égaux les rayons i*ecteurs menés du pôle aux points de contact.

Cette propriété a fait donner à la courbe le nom de spirale équiangle. On la nomme aussi spirale logarithmique, à raison d'une jiulre propriété dont il sera question plus loin (*).

Si Ton mène, dans une spirale équiangle, les rayons vecteurs

OA , OB , OCi , ODj qui se succèdent avec un même écarlc-

ment angulaire quelconque, les Irîanglcs OAB, OBCi, OCiDi, . .. seront semblables; conséqucmment, les rayons vecteurs OA, OB, OC| , ODi , . . . formeront une progression géométrique, ce qui revient à dire que le contour polygonal ABC|D, . . . , inscrit dans

(*) On trouve les premières notions sur cette courbe dans la Mécmtique de Dcs- CARTES et dans une Lettre de ce savant, écrite en i638 (t. I, n* 73). Dcscaktes remarque, h propos des plans inclinés, que les directions des grares concourent toutes en un point situé à distance finie; que, par suite, si le plan incliné e^t un planTéritable, les angles qu'il forme avec ces directions concourantes n'étant pas égaux entre eux, les charges ou actions relatives aux divers points du plan ne seront pas non plus égales entre elles. 11 faudrait alors, suivant l'expression de Descartes, qu'on imaginât, au lieu d'un plan, une portion de spirale ayant son pôle au centre de la Terre. Le P. Mersex:<e ayant demandé des explications sur la nature de cette courbe, Descartes lui répondit (Lettre 74) qu'une de ses propriités caractéristiques était que les tangentes en tous ses points formassent des angles égaux avec les droites menées de son centre aux points de contact. (Voir Mostccla,. /f/5fo«>r des Mat/iémaeiqttes. •j* édit., t. 11, p. 'h-'|(); Paris, 1799.) ^^ spirale équiangle a été plus lard l'objet d'une étude toute spéciale de la part du jésuite Nicolas. (Voir ses deux Mémoires intitulés De noi'is sptralibus exercitatio geometrica ; Tolosœ, 169^, ut De lineis spiral ibus logarithmicis; Tolosa?, 1693.)

On trouve aussi des matériaux pour l'étude de cette courbe dans Wallis {Opéra mathematica, t. I, p. j6o) et dans Barruw {Lect. geoinetricee^ p. la.'i). Voir KlCoel, Mat hf mari se/tes If'orterbuch, t. IV, p. /jSg. Mais c'est à Jacques Bernovlli que revient le mérite d'avoir fait connaître les principales propriétés de la spirale. {\o'\t jicta Eruditoruffiy 169 î, 1^93.) Confi)rniéniciit au désir exprimé par Hernoilli mourant {Jeta Eruditorunij l'iya, p. 21a), la spirale fut tracée sur son tombeau avec cette épitapho : Eadem numéro nnitata resiirget. (Voir Cantor, AUt^emeine dcutsche Uiographie, t. Il, p. '172. -- Klùgel, Mathematisches li'orterbuchy t. IV, p. 41*^0