CONSTRUCTION DE LA SPIRALE

OiOGji, . . . , formés par le pôle O, par les points Ft, G,, ... delà courbe, elpar les centres decourbure correspondants Fi,, G,,,..., sont «*u\-ménies semblables. 11 s'ensuit que les droites OF,i , OGu , . . . sont proportionnelles aux rayons vecteurs OFi , OGi , . . . et comprennent entre elles les mêmes angles que ces rayons; en d'autres

Fig. 3i.

bénies, les droites OF^ , OGu , . . . sont les rayons vecteurs d'une nouvelle spirale équiangle F^Gu .... semblable à la spirale donnée, avec laquelle elle coïnciderait si on la faisait pivoter d'untî (juantité convenable autour du point O.

r.etle nouvelle spirale est dite la dé%^eloppée(^ * ) de la première.

i2. Deux points quelconques Fi , G, d'une spirale équiangle, le pôle O de la courbe, V intersection N des tangentes aux deux points considérés et l'intersection Ni des normales aux mêmes

(') La ihcorie des développées se trouve en germe dans le cinquième Livre des Sections coniques d' Apollonius. C'est ce même Livre qui a donné lieu à la célèbre restitution de Vincei^zo Viviani. Voir De maximis et minimis geometrica divinatio iti quiittum conicorum JpoUonii Pergaei adhuc desideratum; Floreutisc, MDCLIX. — ApoUonii Pergaei conicorum lib. V, VI, VII paraphraste Abalphato jisphahanensi nuttc primum editi, etc.; Florentiœ, MDCLXI.

points, sont cinq points situés sur une même circonférence, dont NNi est un diamètre.

En eflet, d'une pari, les angles 5iF,i\i et NGiNi étant droits, la circonférence circonscrite au triangle FiNGi a pour diamètre NN,:

d'autre part, la spirale étant équiangle et les angles t)F,N, OGi.N étant par conséquent supplémentaires, le point O appartient aussi

à la circonférence F,NGi. L'angle NON, est donc droit.

Celte propriété ne cesse pas d'exister lorsque le point Gj , se déplaçant sur la courbe, amve à ne plus être séparé du point F, . supposé (ixe, que par une dislance infiniment petite. Le point ^ est alors lui-même infiniment voisin de G,, et le point N, d'intersection de la normale F,N| et d'une normale infiniment voisina est à une dislance infiniment petite du point F,, , centre de courbure relatif à Fj . Donc le rajon de courbure F,Fj, , limite de NN, , est le diamètre d'une circonférence passant par le point O, el, en général :

Les rayons de courbure d'une spirale équiangle sont projetés du centre de la courbe sous des angles droits.

Celte propriété permet de construire la développée d'une sj)irale donnée. On voit, en effet, que le point G,, de la développer, correspondant à un point quelconque Gj de la courbe, est à l'ii:tersection du rayon OGi,, perpendiculaire à OG, , et de la normale GiG,, , qui fait avec OG, un angle complémentaire de l'angle

constant OG,N[, sous lequel les tangentes à la spirale rcnconlrenl les rayons vecteurs des points de contact.

43. On donne souvent, au lieu de la tangente et de son point (le contact, deux points F, , G, de la spirale, assez rapprochés l'un de l'autre pour que l'arc FjG, puisse être remplacé par un arc de cercle. Cet arc de cercle a pour centre le point Nj , situé (42) sur la circonférence 0,0 F,, à l'extrémité du diamètre |)erpendiculaire à la corde F,Gi . Le centre P, d'un second are Gillj sera déterminé de la même manière par l'intersection de la circonférence HjOGi et du diamètre perpendiculaire à la corde G,IIi. Les points P|, G,, N, seront alors en ligne droite si les