CONSTRUCTION DE LA SPIRALE
portions de spirale FiGi et GiHi peuvent être remplacées par les arcs de cercle.
Un premier centre Nj ayant été exactement déterminé par la construclion précédente, on obtiendra très simplement un centre voisin Pj, soit en construisant le triangle GiOP, semblable au triangle FjONi, soit en coupant GiNi par la perpendiculaire élevée au milieu de GiHi . On déterminera de la même manière toute la suite des points analogues à Ni, Pi, . . . , et de ces points comme
centres on décrira les arcs de cercles FiGi , GiHi , La spirale
se trouvera ainsi tracée.
44. Il est plus facile encore de construire la spirale équiangle cjui coïncide avec sa propre développée.
Ayant d'abord construit la portion de spirale qui correspond à
l^angle — -f on la considère comme développée de la portion suivante, et l'on trace cette seconde portion, d'après la méthode indiquée plus haut, au moyen d'arcs de cercles dont les centres sont pris sur la première portion déjà construite; et ainsi de suite. I^a normale et les rayons de courbure sont en même temps tangents à la courbe qui coupe les rayons vecteurs sous un angle de 74°79'i8'^j3. La tangente de cet angle, c'est-à-dire le rapport (les rayons vecteurs, est
3,644*734- Ce nombre a pour valeurs approchées
59 io4 267
On peut décrire la courbe sans autre donnée que ce rapport. On peut aussi calculer autant de rayons vecteurs qu'on voudra au moyen de la formule
log - = o, oooo3466o6o3 e' = o, 0020799962 e** ,
dans laquelle ©'et 0® représentent, le premier en minutes, le second en degrés, l'angle formé par les rayons vecteurs r et c.
45. Lorsque, dans une spirale qui est sa propre développée cl qui a pour angle de rotation (3 = 2A7:, on donne l'angle constant a compris entre la courbe et le rayon vecteur, on peut obtenir autant de points qu'on veut de la courbe et raccorder ensuite ces points par des arcs de cercle.
On divise l'espace angulaire autour du point O {Jig- 3a) en un certain nombre de parties égales 6 , assez petites pour que l'arc de spirale correspondant à chacune d'elles puisse être remplacé par un arc de cercle. Par un point Gi , pris sur l'un des rayons divi-
Fig. 32.
seurSy on mène la droite GiN, faisant avec ce rayon l'angle ÔGiN,
égal à l'angle donné a. On considère le point Fi, non encore construit, comme situé sur le rayon qui précède OGi et qui fait avec
OGi l'angle 6. L'angle NONj étant droit (42 ), on construit le point Ni comme intersection du rayon perpendiculaire à la bissectrice ON
de l'angle FjOGj et de la perpendiculaire élevée en Gi sur la droite GiN. Du centre Ni, avec NiGi pour rayon, on décrit l'arc GiFj, qui détermine le point Fi. Le centre Pi du second arc de cercle GiHi est ensuite obtenu comme intersection de la droite GiNi et du rayon perpendiculaire à la
bissectrice de l'angle GiOHi = ô, qui vient immédiatement après
l'angle FiOGi. Du centre Pi, avec PiGi pour rayon, on décrit ce second arc de cercle, qui détermine le point Hi. Le centre Qi du troisième arc est pareillement à l'intersection de la droite HjPj et du rayon perpendiculaire à la bissectrice du troisième angle ô, et ainsi de suite.
Si Ton divisait l'espace angulaire autour du point O en 2"+* parties égales et si l'on faisait l'angle 9 égal à 36o^ : 2", les rayons diviseurs fourniraient non seulement lous les rayons vecteurs qui
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interviennent dans la construction, mais encore les bissectrices des angles successifs et les droites, perpendiculaires à ces bissectrices, sur lesquelles sont situés les centres des arcs cherchés.
46. Les précédentes solutions exigent qu'on sache diviser un angle donné en un certain nombre de parties égales ou de parties proportionnelles à des segments de droites donnés. Cette question, qui se rattache directement au calcul graphique, peut être résolue au moyen d'une progression arithmétique mise sous forme de spirale. On peut, à la vérité, effectuer les divisions dont il s'agit sur l'arc de cercle, qui est la grandeur linéaire servant de mesure aux angles plans ; mais les divisions de l'arc de cercle ne sont pas toujours possibles par la règle et le compas. Aussi sera-t-ilplus simple et plus général de se servir de la spirale, au moyen de laquelle on ramène la mesure des mêmes angles à celle de la grandeur linéaire qui constitue la différence des rayons vecteurs comprenant entre eux l'angle donné.
Transformons la progression arithmétique par un procédé analogue à celui qui nous a amenés de la progression géométrique à la spirale précédemment considérée. Nous obtiendrons ainsi un second contour polygonal tel, que les rayons vecteurs aboutissant à ses sommets successifs, ou comprenant entre eux un même nombre de ses côtés, excéderont chacun le rayon précédent d'une quantité constante. A la limite, le contour polygonal deviendra une seconde spirale, dans laquelle une suite quelconque de rayons vecteurs, séparés par des intervalles angulaires égaux, présenteront des longueurs relatives procédant entre elles par équidifférences. On donne à la courbe ainsi obtenue le nom de spirale d'^rchi^ mède.
Au moyen de cette courbe, tous les problèmes dans lesquels il s'agit de ipodifier un angle par voie d'addition ou de soustraction n'exigeront plus que des additions ou des soustractions linéaires.
Soit à diviser un angle donné en n parties proportionnelles à des droites données. On tracera deux rayons vecteurs de la spirale par différence, faisant entre eux l'angle donné ; on divisera l'excès du grand rayon sur le petit en n parties proportionnelles aux mêmes grandeurs. Les distances mesurées sur le plus grand rayon, entre l'origine et les n — i points de division, seront les longueurs des
n — I rayons vecteurs à insérer entre les deux premiers pour obtenir la division cherchée.
La spirale d'Archimède devient ainsi le complément de la spirale équiangle, et, si l'on trace ces deux courbes de même pôle de telle façon que le zéro de Tune corresponde à Tunité de Tautre, elles formeront un ensemble au moyen duquel les opérations foodamen taies du calcul graphique seront ramenées, savoir : la multiplication à une addition , la division à une soustraction, rélévation aux puissances aune multiplication (addition multiple) 'et Teitractiondes racines à une division (soustraction multiple) ('}.
y. — Applications.
47. La spirale équiangle sert à résoudre le problème de Textraction des racines. Il résulte en effet de sa construction que les
( ' } F'oir, au sujet de la spirale d'ABCBiMÉDB et d*un instrument imaginé pour U construire, deux Notes de M. le professeur Satho, dans les Rendiconti del ÂetUe Isii' tuto Lombardo di Scienze e Lettere, t. VII, 1874» p. i63-i68 et 499*^o4. C'est d'ailleurs à tort qu'on a souvent attribué l'inTention de cette courbe au savant dont elle a gardé le nom. Aicbimédb a laissé d'importants travaux sur la spirale, mais Platos, dans nn passage du Timée, en avait déjà fait l'application aux orbites planétaires, et, pour en trouver les premières origines, il faut remonter jusqu'à la Géométrie des Hindous. Vers la fin du m* siècle avant Jésns^hrist, la spirale fut attribuée à GoRO!<, contemporain d'AaauiitDB. ydr Klûgbl, Mathematisehes WSrterbuek^ t. lY, p. 4ii~ 4 13. — Lebman!!, Die Arehimedische Spirale mit Rûcksicht anfihre Gesehichie; Freibnrg, 1862. — L.-Am. Sedillot, Sur l'origine de la semaine planétaire et de la spirate de Platon; Rome, 1878, p. lo-ii. — Chaslbs, Aperçu historique^ etc., Note I, p. 272, sur h confusion établie par db Challbs, Vossics et Hbilbbohubb entre les spiriques de Pbisscs et les spirales d'ABCHiMÊDE, et Note VIII, p. Q97, sur la description des spirales et des quadratrices au mojren d'une surface hélicoîde rampante^ et sur Vanalogie de ces courbes avec celles qui portent le mime nom dans le sjrsthme des coordonnées de Des* cartes.
Parmi les mathématiciens qui ont particulièrement étudié la spirale d'ÀBCinvisc avant l'invention du Calcul infinitésimal, il convient de citer Viêtb (MoHTFBmBiEB, Dictionnaire des Sciences mathématiques, 3* édition, t. II, p. Sia), Walus {Arithme» eica infinitorum, sive nova methodus inquirendi in curpilinearum quadraturarum^ etc. ; Oxonise, i655, prop. V-XLV); Bocillac {De lineis spiralibus demonstrationes novœ; Parisiis, i65;, feuillet aiij).
Nous signalerons enfin comme remontant à une époque très ancienne l'emploi de la spirale pour diviser géométriquement dans un rapport donné les angles et les arcs de cercle. Voir, en effet, Mathematicœ Collectiones Pappi Alexandrini a Fede- Hico CoMMA?iDi!<o in latinum conversa et commentariis illuttratœ ; Bononiae, 1660, t. IV, prop. XXXV.
SI
