III

(Jig- 37} les conrbes que Fig. 37.

Représentons par I décrivent les points i, a, 3, ...

et par 1, 3, 3, ... celles que décrivent les points — i, — a, — 3, .... Il est aisé de reconoaitre que les premières sont ouvertes et s'étendent à l'infini, tandis que les autres sont fermées et sous-tendues par l'unité X. La courbe I est une droite, la courbe 0, décrite par ie point o, est le quart de cercle de rayon OA = i, et la courbe 1 est le demi-cercle de diamètre OA.

On peut d'ailleurs, au moyen d'un angle proportionnel^ déterminer les divers points potentiels sans qu'il soit nécessaire de tracer toutes les perpendiculaires correspondantes.

On construit à cet effet un angle tel, que le rayon d'un cercle, tracé de son sommet comme centre, soit à la corde de l'arc compris entre ses côtés dans le rapport de i à/. On décrit ensuite, du même sommet comme centre, un cercle de rayon l" ; on mesure la corde s qui sous-tend l'arc de ce nouveau cercle compris entre les côtés de l'angle, et l'on a

6a CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE 11.

et

Mais cette dernière forme est moins commode que l'équation (î) pour les applications que nous aurons à faire. En diflférentiant Téquation (e), on obtient

dp =: n séc*^^^ a .d séca = /iséc"~'a.sécataiiga «^a = n sec" ce . tanga . dx = np tang ada, d'où

(Q) -£ = np.Uingu,

Elevant OR perpendiculaire sur OB et projetant sur OR la normale MR à la courbe, on a pour équation de la sous-normale

dû (i) OR := -r- =: ZIP. langa.

^ ' dx

Élevant ensuite MQ perpendiculaire sur OB, on a

MQ = OMtangee = p. tinga.

Introduisant celte valeur dans Téquation (c), on a

La similitude des triangles NOR, NQM donne d'ailleurs

NO = n. ISQ, d'où

(x) OQr:.(/i-.)NQ.

En menant CD parallèle à la normale MN , on détermine le triangle OCD, semblable au triangle OMN. La corde CA étant d'ailleurs parallèle à MQ, on a, par la similitude des triangles, une équation analogue à (ic), savoir

OA — (w — I )AD,

d^Oli

(a) ADzn— ^OA,

COURBES POTENTIELLES. 63

équation qui permet de construire la tangente au point M, puisque CD est parallèle à la normale en ce point.

On trace, à partir du point O, un rayon quelconque OS, et l'on obtient le point M en portant sur ce rayon la /i*'^'"*' puissance OM de OB. On porte ensuite la (/i— i)»^"*' partie de OA de A en D, on joint CD, et du point M on abaisse sur cette droite une perpendiculaire MT qui est la tangente cherchée.

On donne le nom de point normal 2lu point D, qui sert à déterminer la direction de la normale. Pour les courbes I, II, III,

IV, . . . , qui s'étendent à l'infini, l'équation AD = OA et la

génération même des courbes indiquent que le point normal est à l'extérieur du segment OA. Pour les courbes potentielles i, 2, 3, . . . , qui ne s'étendent pas à l'infini, n et AD deviennent négatifs, et par le point D, situé sur le diamètre OA, on ne peut pas mener de tangente au demi-cercle OCA. On peut, au contraire, en mener une lorsque le point normal est sur le prolongement de OA. Mais on sait que la normale en un point M de la courbe potentielle est perpendiculaire à la sécante DC, qui joint le point normal correspondant à l'intersection du rayon OM et du demi-cercle OCA. On en conclut que les tangentes à une courbe potentielle qui s'étend à l'infini sont parallèles deux à deux. Il arrive en effet, généralement, que la droite DC coupe le demi-cercle en un second point Cl et qu'on a sur les rayons OC, OCi respectivement deux points M, Mj, appartenant à une même courbe potentielle. La tangente au point M est perpendiculaire à DC; la tangente au point Mj est perpendiculaire à DCi . Mais DC et DCi coïncident : les deux tangentes sont donc parallèles.

Si les points C et Ci viennent à coïncider, c'est-à-dire si la droite DC touche le demi-cercle, les deux tangentes coïncident aussi et la courbe passe de la concavité à la convexité ; en d'autres termes, le point de contact M est un point d'inflexion.

On peut d'ailleurs, à raison de leur faible courbure, considérer les courbes potentielles comme composées d'une suite de petits segments rectilignes. En ce cas, le rapport des racines n**"" de deux longueurs p etjOj est fourni par l'équation (i^, ). On a en effet

^fâ" " ?=(')"

d'où

CALCUL GBAPHIQDE. — CBAPITBE II.

et

Nous avons, dans ^^ fig* Sy,

Oi — /, OM = p, Oii = /i, OM, — Pi,

Oi:Oii=î/OM: J/OMi.

Si OM est l'unité de longueur adoptée et si l'on mène par le. point M une parallèle MN à AI, on a la proportion

OM:ON=rv^OM : v'OM,

ou bien

c'est-à-dire