I : ON = I : v70Mi

ON = v^OMj.

Fij. 39.

52. L'extraction des racines au moyen des courbes potentielles ne nécessite pas absolument la construction de ces courbes. On peut, comme nous l'avons déjà indiqué, se borner à construire leurs tangentes.

Cette observation sera mise en évidence par un exemple.

Soît / la longueur dont on veut extraire la racine, et supposons qu'il s'agisse de la racine cubique.

Du centre O {fig' 89), avec la longueur / comme rayon, on décrit un cercle k ; on mène arbitrairement un rayon OS, et l'on détermine la troisième puissance de Oi . Le point potentiel 3 ainsi obtenu appartient à la courbe potentielle IIL On mène par ce point la droite 3T, perpendiculaire à la direction CD des normales et par conséquent tangente à la courbe potentielle III au point 3.

C0UEBE8 POTENTIBLLBS. 65

Le point D est donné par Téquation (X) :

AD = ^^^— OA = i OA.

A raison de sa faible courbure, la courbe diffère peu de sa tangente dans le voisinage du point de contact. Elle coupe donc le cercle A' en un point très rapproché du point M, où ce cercle esl coupé par 3T, et la droite OM diffère très peu du rayon qui

donnerait la mesure exacte de y /. Si donc on élève OB à la troisième puissance, on obtiendra un nouveau point potentiel 3, qui sera en général très voisin de M et qui pourra même coïncider avec M.

Si cependant cette première opération ne donnait pas un résultat assez ap(Troché, on construirait la tangente passant par le nouveau point potentiel ; Tintersection de cette tangente avec le cercle k fournirait un autre point M qui pourrait, plus exactement que celui de la première tangente 3T, être considéré comme point d'intersection de la courbe potentielle et du cercle k. La construction de la seconde tangente suffira, dans tous les cas, à un opérateur quelque peu exercé, pour obtenir, avec une approximation suffisante, le point d'intersection du cercle et de la courbe.

Dans la /t'g^. 39, OB représente y'- Si la longueur / était plus petite que Tunité, on déterminerait d'abord la longueur réciproque

/, = y et on extrairait la racine cubique de /j ; la valeur réciproque

(le cette racine serait la racine cherchée.

53. Nous compléterons l'étude des courbes potentielles par la recherche de l'aire du triangle mixtiligne compris entre la base OA, le rayon OS et la courbe. Cette aire, déduite du calcul, est représentée par l'expression

do,

ces* "a

Mais l'aire d'un triangle mixtiligne peut aussi être déterminée par la méthode graphique.

SoilOEEj {Jig' 4o) la différentielle de la surface OAE. L'aire d un triangle est égale au demi-produit de deux côtés par le sinus

de l'angle qu'ils comprennent. Nous admettons que l'angle compris entre OE et OEj est infiniment petit, c'est-à-dire égal à doc, et

Fig. ^Q.

qu'on peut, sans erreur appréciable, considérer sin^a comme égal à da. On a donc, en représentant par d\ l'aire différentielle.

£fA=-OE.OEt.«/a

-OE(OE-f-^OE)rfa

-OE </a + -OE.^OE.rfa

Kn négligeant le second terme du second membre comme infiniment petit du second ordre, on a

</A = - OE da.

Mais, d'autre part,

OE=OB"=séc'»a=- '

cos^a'

conséqucmmcnt.