I. — Principe des signes appliqué aux aires (i

81. Un point qui se meut d'un mouvement continu dans un plan décrit un circuit ou périmètre fermé lorsque sa dernière position vient coïncider avec sa position initiale.

(') La règle des signes appliquée aux aires a été établie pour la première fois, dans toute sa généralité, par Môeics {Der barycentrische Calcul, etc., Leipzig, 1827, J 17, \%t\passim. — Lehrbuch der Statifc, Leipzig, 1837, J 34). On troure, toutefuis, d'intéreisants matériaux pour l'étude de cette question dans un Mémoire de Mo:iGB (XV* Cahier du Journal de l'École Polytechnique, p. 68). Les premières notions sur les signes des aires, spécialement dans les figures à périmètres croisés, on été données |4r Meister {Generalia de genesi figurarum planarum et independentihus earum affecthnibus , dans les Novi Commentarii Societatis regiœ Scientiarum Gottingensis, t. 1, ad n. MDCCLXix et mdcclxi, p. i5o). — Lexell (Solutio problematis geometrici ex doctrina sphœricorum, dans les Acta Académies Scientiarum imper i dis Petropoli^ tan€ef\'fi\^ 1, p. 126 et suiv. ) et L'Hdillier {De relatione mutua capae tatis et termi' mrum figurarum Geometriœ considerata,\aino\\œ, 17B2, p. 23) ont aussi jeté quelque lumière sur ce sujet.

C'est ici le cas de rappsier la célèbre formule de Gauss, au rnoyen de laquelle, connaissant les coordonnées des sommets a*, y ; jr', y' j a**, y? •.•»^~*»y~S o" peut calculer Taire do tous les polygones déterminés par l'équation

Cette formule a été publiée pour la première fois dans la traduction allemande do la

Lo circuit est polygonal ou rectiligne quand il est formé de segments de droites ayant chacun son origine à l'extrémité du segment qui le précède et son extrémité à l'origine du segment qui le suit.

Le circuit peut être tel que le point mobile qui le décrit n'occupe jamais deux fois une même position quelconque. Mais il peut arriver aussi que le circuit se coupe lui-même. Il prend alors le nom de circuit croisé ou entrelacé et les points d'intersection sont appelés nœuds.

Si le mobile, partant d'un certain point A, passe successivement par les points B, C, D du circuit avant de revenir à son point initial, on désigne le chemin parcouru par ABCD. Si le mobile rencontre les mêmes points dans l'ordre D, G, B, on désigne par ADCB le chemin parcouru en sens opposé sur le même circuit.

Tout point du plan, constamment situé à la droite de l'obser\'ateur qui parcourt un segment déterminé de l'un des deux chemins, est constamment à la gauche de l'observateur qui parcourt le même segment dans le sens de l'autre chemin.

L'origine du mouvement étant arbitraire, les expressions ABCD, BCDA, . . . désignent un seul et même chemin, opposé de sens à celui qu'on peut désigner indifféremment par ADCB, DCBA, ....

Un périmètre fermé et sans nœuds circonscrit une portion finie du plan, qui lui est intérieure, et la sépare de toute la partie extérieure, qui s'étend à l'infini. La mesure de la partie intérieure constitue Vaire du circuit.

Lorsqu'une droite pivote dans un plan sur un de ses points supposé fixe et lorsque, par suite, un autre point A de la droite

Géométrie de position de Carsot (Géométrie der Stellung oder ûber die Anwendungder Anal) sis auf Geometricy deutsch v. SciiCHMAcnER, 3. Theil, Altona, 1810, p. 36a). Mais c'est encore dans les travanx de Môdics qu'il faut chercher la première étude complètc sur les signes des aires dans les fi^rures à contours croisés (voir, outre les deux Ouvrages cités plus haut, Théorie der elemcntaren Ferwandtschaft, dans les Berichte iiber die Verhandlungen der Sàchsischen Gesellschaft der Wissenschaften, t. 15, p. 4> et suiv. et Ueber die Destimmung des Inhalts eines Polyéders, dans le même Recueil, t. 17). Consulter sur la môme question : Die Elemente der Mathematih^ von D"" KicHARD Raltzer, 11. Hd., dritte verbessertc AnllaRe, Leipzig, i870, p. ()5-68, et Vermischte Untersuchungen fiir Geschichtc der mathcmatischen Wissenschaften^ von D' SiEOMUND GcNTiiER, Leipzig, 187G, p. 1-9^!.