PRINCIPE DES SIGNES APPLIQUÉ AUX AIRES

mobile décrit une circonférence, on convient de considérer comme positifs ou comme négatifs, d'une part l'arc circulaire décrit par le point A, d'autre part l'aire décrite par la droite OA, selon qu'un observateur placé au-dessus du plan verra cette droite se mouvoir dans le même sens que les aiguilles d'une montre ou dans le sens opposé. Le premier des deux mouvements détermine, par convention, le sens positif du plan, l'autre le sens négatif.

82. Soient A, B, C les sommets d'un triangle, placés de telle façon qu'un obser\*ateur, parcourant le périmètre dans le sens positif et à partir de A, passe par B avant d'arriver à C. L'observateur aura constamment à sa droite l'aire ABC, que l'on convient de considérer comme positive. Si le mouvement avait lieu dans le <ens négatif du plan, robser\'ateur aurait à sa gauche l'aire négative AGB, égale et opposée à la première.

L'aire positive ABC peut être considérée comme engendrée par la droite AB, de longueur variable, pivotant sur le sommet A et dans le sens positif du plan, pendant que le jioint B parcourt le chemin recliligne BC. L'aire égale et opposée ACB s^rra pardilement décrite par la droite AC, pivotant dans le sens négatif sur le même point A, pendant que le point C parcourt le chemin CB.

83. Soit O an point quelconque, pris dans le plan do triangle .\BG. On a identiquement, en observant les règles qae nou% >eooii5de poser,

OAB — OBC — QC\ = XBC

Cefle propriété apparaît immédîati^ment lor^ue le fpf/tni O est pris à rintériear du triangle ABC. car le^ trian^ie^ yartu-U OAB« OBC OCA sont de même sîzne et leur ifptnmf: e^t f-fcah*. i \Wl,

Si le point O e^ dans Tan^le BAC maî-^ en d^br>r% dn trîi§n^H ^:iaoné et dans la partie da plan ««^p^rée du «^>mmet A ^t \i§ àroiU', teC les aire* de* tnande* OAB. OCA v>nt de m/:rn^, vtm H fj'AUr da ijîan^ OBC e*t de sens contraire, ^n wrîe t\utni a, t\ A\ffk% Li rè^le des âgne*.

OAB — OBC ->- OCA = OAB — OCB — 0C4 = ABC.

Eafia. si le ytÀrnSL O est ^Lm» TaA^ie opp^i^ pc»r k ^rnitu^-t s B \C,

on a

OAB -h OBC -h OC A = — OBA -4- OBC — OAC = ABC.

11 suit de là qu'on peut considérer Taire du triangle ABC comme engendrée par le mouvement d'un rayon de longueur variable, dont un point O reste fixe, tandis que son extrémité décrit le périmètre du triangle d'un mouvement continu et dans le sens donné.

La propriété qui précède s'étend aux cas où des arcs de courbe seraient substitués à un ou à plusieurs des côtés rectilignes.

84. Soit ABC . . . MNA un circuit polygonal quelconque, plan et fermé. Les aires des triangles déterminés par ses divers côtés et par un point O du plan forment une somme constante, quel que soit O.

En effet, P étant un autre point du plan, on a (82)

PAB = OAB -h OBP -+- OPA, PBC = OBC -h OCP -4- OPB,

PMN = OMN -+- ONP -h OPM, PNA =: ONA + OAP H- OPiN.

Si Ton additionne ces égalités, en supprimant dans le second membre les termes égaux et de sens opposés, il vient

PAB -4- PBC -^ . . . -+- PMN -4- PNA = OAB H- OBC -}-...-+- OMN -h ONA = 2.

On peut considérer Taire constante £ comme engendrée par le mouvement d'un rayon de longueur variable, pivotant sur le point O, pendant que son extrémité décrit le contour donné dans le sens donné.

8o. Tout circuit fermé et croisé divise le plan en un certain nombre de parties finies et contiguës, Çi, cp2, cpj, ..., limitées chacune par un circuit partiel, fermé et non croisé. La totalité du plan de la figure se compose de ces parties et d'un résidu illimité cpo, qui leur est extérieur.

Soient O un point du plan pris comme pivot, A un point mobile