IV. — Stéréogrammes

123. On nomme stéréogramme (*) la figure en relief qui représente effectivement dans l'espace une foncli(m à trois variables ou une table à double entrée. Zeuner, le premier, a pro|K)sé de tradfiire les phénomènes démographiques par des représentations à trois axes ( ' ).

délails et puur uu grand nombre d'autres applications des isoplètbes aux cartes météorographiques, Robert H. Scott, Cartes du temps et avertissements de tempêtes, traduction de Zcrciier et Margollé, Paris, 1879; Marié-Davt, Météorologie gêné" raie, etc. Paris, 1877 ; Poixcaré, Distribution et marche des pluies dans le département de la Meuse, etc., dans les Annales des Ponts et Chaussées, 1873, 2* semestre, p. 227, et VL XXII, XXUI.)

(*) Cette dénomination a été proposée par le professeur Messedagua.

(' ) Le stcréogramme théorique proposé par Zeutier diffère de celui que nous allons expliquer en ce qu'il e^t rapporté à trois axes rectangulaires. (Voir Ahhandlungea ans der malhematischen Statistik, von D' Gustav Zeuner; Leipzig, 1869).

La traduction graphique des faits démographiques a donné naissance à divers systèmes de représentations planes rapportées à deux axes. ?)ous citerons notamment le système de Knapp v. Ueber die Ermittlung der Sterblichkeil ans den Aufzeichnungea der BevÔlkerungs-Statistih, Leipzig, 1868, et Théorie des Bevolkerungs-Wechsels. Abhandlungen zur angtwandten Mathematik, Rraunschweig, 1874); celui de Becker {Zur Derechnung von Sterbetafeln an die Bex-olkerungsstatistik zu stellende Anfor-^ derungen, Berlin, 187/1); celui dcLhXis {Einleitnng in die Théorie der Bei'ôlkerungssta" tistik, Strassburg, 1875), et celui do Le>yin {Bapport sur la détermination et le recueil des données relatives aux tables de mortalité. Programme de la neuvième session du Congrès international de Statistique à Budapest y Budapest, 1876). On trouve un expoksé sommaire de ces divers systèmes dans les Mémoires cités plus loin de M . Perozzo.

STBRéoGIlAHMES.

Soient (fig* 87 ) OY, OZ deux axes rectangulaires situés dans le plan du tableau, OX un troisième axe faisant avec OY, dans le plan horizontal YOX, un angle de 6o<*.

L*axe OY est celui des époques de naissance des diverses classes de sujets dont on étudie la collectivité; Taxe OZ, celui du nombre de ces sujets d'après la statistique. En d'autres termes, si YjMi est une ordonnée pro* portionnelle au nombre des naissances constatées pendant une certaine année, Yi, OYi sera une abscisse proportionnelle au nombre d'années corn-

Fig. 87.

prises entre Tj et une année antérieure, prise comme date d'origine des observations à figurer.

L*axe OX est celui des âges ; en sorte que, si le segment OXf est proportionnel à la durée comprise entre la date d*origine O et une certaine année Xi, l'ordonnée du relief au point Xj sera proportionnelle au nombre des indi* ridus qui, nés à l'époque 0, sont vivants à l'époque X| et, par conséquent, âgés de 0X1 années. Pareillement, Tordonnce Ri Pi, telle que YjRi soit égal et parallèle à OXi est proportionnelle au nombre des individus qui, nés en Tannée Yi, sont vivants et âgés de OXi années, OYj -4- OXi années après la date prise pour origine de la figure.

£d général, toute ordonnée, telle que R^ Pf, située xlans une section plane MfYiRiPi parallèle au plan des j:z, représente la fraction survivante à Tâge OXf des YiMj individus nés à Tépoque Yf Le relief du stéréogramme est donc coupé par toute section parallèle au plan des xz suivant une courbe MiPiV, dite ligne des surphants. Cette courbe représente, en effet, la loi de survivance ( et, par différence, la loi de mortalité ) des individus nés en Tan Yj. Elle rencontre le plan des xf lorsque le dernier survivant de la classe Yi a disparu, c'est-à-dire en un point V, tel que YfV représente environ cent années à Téchelle de la figure. Le lieu des traces Y s'écarte peu de la parallèle X,V à Taxe OY.

On voit immédiatement que les plans parallèles à celui des jrz coupent la surface suivant une seconde série de courbes, telles que Pi Pi, dont les ordonnées Ri Pi, RiPs, ••• sont respectivement proportionnelles aux nombres d'individus des classes Yi, Y,, . . ., qui étaient vivants OXi années après leur naissance. Les courbes PiP^ sont dites lignes des individus du même âge, La courbe M] M,, dite ligne des naissances, n'en est qu'un cas particulier correspondant à l'âge zéro.

Les plans parallèles à celui de xy coupent la même surface suivant une troisième espèce de courbes, qu'on nomme isodémiques, parce que tous les points de Tune quelconque d'entre elles, TjTi, ont même ordonnée OZi, et correspondent à un même nombre d'individus. Ces courbes permettent de relever, par exemple, que les classes Yi, Y3, . . . avaient OZi survivants, respectivement S/fi et S3T3 années après leur naissance, ou respectivement Zj Si -H SiTj et Zi Sj -f- S5T3 années après la date d'origine O. Les courbes isodémiques seraient, dans la disposition de la figure, les isoplè thés du Tableau graphique à double entrée, dressé d'après la méthode Lalanne pour être substitué au relief démographique.

Considérons maintenant une section plane M^YsY pratiquée dans la surface, non plus, comme précédemment, suivant Tune des trois directions parallèles aux plans coordonnés, mais perpendiculairement à la bissectrice intérieure de l'angle XOY. On détermine ainsi une quatrième espèce de courbes, M,P,V, dont il est aisé de trouver la signification. Soit P, un point de l'une quelconque de ces courbes. L'ordonnée RiPj représente, ainsi qu'on l'a vu, le nombre des survivants de la classe Y3 qui ont atteint l'âge de Y3Rj années. Ce nombre sera donné par le recensement de la population à une époque postérieure de OYj-h YjRj années à la date d'origine de la figure. Mais le triangle R,Y3Y2 étant équilatéral par construction, on a

OYj+YjR^r^OY,,

ce qui revient à dire que les survivants R2P1 de la classe Yj seront recensés

STÉnéOGRAMMES. 17')

k Tige OXf et en Tannée Y^ ; car on a eu soin de mesurer le temps i\ la même échelle sur les axes OX, OT. On voit par là que les ordonnées do la courbe M^Pi V figurent la suite complète des individus de tout Age rc'censes en Tannée Y^, depuis les survivants des MiY^ enfants nés pendant la mémo année jusqu'au dernier survivant V delà classe Yj, qui étaiit né envinui cent ans avant. Les courbes de Tes{)ècc M|V sont dites lignes des recensés. La surface démographique présente donc quatre espèces intéressiintos d(> courbes planes. On y distingue aussi des lignes à double courbure dont il sera question plus loin.

12&. Appliquons les considérations théoriques qui précèdent à la traduction en relief d'une suite de faits démographiques réellement observés.

La Suède possède, depuis plus d'un siècle, des recensements par péri(Klcs quinquennales et par âges. M. Berg en a d'abord figuré les résultats, depui» 1750 jusqu'en 1875, sur un diagramme plan dans lequel le temps est porté en abscisses et le nombre d'individus en ordonnées. Sur l'ordonnée relative au recensement de 18259 P^i* exemple, on porte successivement, et toujours à partir de Taxe des abscisses, des hmgucurs proportionnelles : [a) au nombre total des sujets nés vivante dans la précédente période quinquennale (1820- 1825]; (3) au nombre des mêmes sujets qui, n*ayant pas succombé, étaient âgés de o à 5 ans au recensement de i825; [c] au nombn* de sujets qui avaient de 5 à lo ans au même moment, et ainsi de suite. Chacun des segments décroissants de la même ordonnée représente donc une classe de vivants ayant pour caractère commun que la date de leur naissance est comprise dans une même période quinquennale antérieure. Si l'on opère de même pour chaque recensement quinquennal, il suffira de raccorder entre eux, par des traits rectilignes, les sommets des f»rdonn(*cH (a), puis les sommets des ordonnées [b], . . ., pour avoir une s<:rie de lignes brisées, dont la première figure la loi de dévelop|>emenl des naisH;inces, chacune des autres figurant le mouvement d'une catégorie de sujets âgffs de « il /t -f- 5 années. On a ainsi toute la suite des lignes des individus de mémv «îff*(123).

On remarquera, d'autre part, que les sujets âgés de 5 à lo ans et figurés par l'ordonnée (c) au recensement de iSiS, par exemple, s^mt les sarvivants des sujets âgés de o à 5 ans et figurés par l'ordonn^fc [b^ au recensement de 1820. H suit de là que, si Tfm raca>rde, en «'écartant de l'origine, le sommet [b") d'une ordonnée au sommet [c] de la suivante, celui-ci au sommet (//] de la suivante, et ainsi de suite, on obtient une ligne brisée de nouvelle espèce, qui figure le nKiovement décroissant d'une génération dont toutes les naissances sont comprises dans une même fiériofie quinquennale. En opérant de même jKiur chacune des périrides, on obtient

la série des lignes de survivants. Quant aux lignes des recensés, que n <

avons aussi distinguées dans le relief théorique, elles se confondent ici a\=^^ les verticales sur lesquelles se superposent les ordonnées de chaque rece sèment.

Cela posé, il est aisé de passer du diagramme plan à un stéréogramcn figurant les mêmes phénomènes d*une manière plus saisissante et perro^^ tant d'ailleurs diverses constructions et déductions qu*un tableau à de^j axes ne comporte pas. L«i fig. 88 est une perspective, réduite à ses ligatie

JbLJI «So-oo*

„. aoo.o»o

i&o.ooo

BOO.OOO

onS

100 et plim

principales, du stéréogramme démographique de la population mâle suédoise depuis 1750 jusqu'en 1875, construit par M. Perozzo, d'après les données qui avaient déjà servi à dresser le Tableau de M. Berg. Les axes sont disposes comme nous Tavons indiqué plus haut (123); il en résulte

STÉRÊOGRAMMES. I77

4|ue les deux séries de sections planes verticales, donnant les lignes des survivants et les lignes des recenses, sont inclinées symétriquement à 6o* sur le plan des jz. Les li^^nes des recensés sont en traits de force pleins, celles des survivants en traits pleins })lus légers, les lignes d*dge en petits traits interrompus, et les isodéniiques en pointillés. On distingue sur le relief chacune de ces catégories de lignes par une teinte spéciale.

On adopte les lignes des recensés comme profils en travers générateurs (le la surface à construire. A cet effet, sur une planchette en forme d'équerre, ad'ectée à cha(|ue recensement, on trace, d'après les échelles adoptées pour les âges et pour les nombres de sujets, la ligne des recensés fournie par lobservation quinquennale correspondante. Après avoir découpé cette ligne sur Téquerre, dont elle remplace l'hypoténuse, on place la planchette ^iins la position MjYjV de h^g» 87, le sommet de l'angle droit étant au point Yj qui marque sur l'axe des j-^ à l'échelle adoptée, la date du recensement. On Gxe de même à leurs positions équidistantes, dans le dièdre formé par les plans coordonnés XOY, YOZ, les équerres relatives à la suite (les recensements. On a ainsi, dans l'espace, toutes les lignes de recensés, et l'on construit consécutivement, au moyen de petites réglettes ou de fils diversement colorés, les lignes planes de même âge, d'égale population et <le survivance.

Le stéréograrame se prête à la construction de diverses autres lignes dont la vue fournit immédiatement d'utiles renseignements sur la manière d'être ilu gruu[>e démographique considéré.

On peut se demander, par exemple, à quel âge limite il faudra s'arrêter dans les relevés d'un certain recensement pour que l'ensemble des sujets de

cet âge et au-dessous soit une fraction déterminée - de la population totale

.lu même moment. Cet âge limite sera OXi [^g. 87) si l'ordonnée R,P, ferme le périmètre d'une aire trapézoïdale MjYjRjPj, égale à la w»ème p^^. cie de l'aire totale M^Y^V qui figure toute la population recensée à la date

Yj. A la même fraction - correspond un point tel que Pj sur chacune des

courbes telles que Mj V. En raccordant tous ces points sur le relief, on obtient une ligne à double courbure qui est la ligne isotomique des recensements relative à la fraction - • A chaciue valeur de n correspond une isoto-

m ique différente. Pour /i = 2, l'ordonnée RjPj divise l'aire totale M,Y,V

en deux parties égales; l'âge OXi ^^ YjRj est alors Vdge moyen de toute la

population recensée à la date Y^. La suite des points P,, déterminés jiar

la condition nz=. ?., donne V isotomique des âges moyens relatifs aux divers

recensements.

On peut encore considérer, non plus les sections M,V, relatives aux censements, mais les sections de survivance M,V, et déterminer, par des considérations analogues aux précédentes, des lignes d'une nouvelle espèce, dites isotomiques des générations ( * ) .

125. M. Perozzo ('] a fait une ingénieuse application du stéréogramme à trois axes orthogonaux aux relevés de nuptialité fournis par la statistique italienne pendant les cinq années comprises entre 1872 et 1876. Les sujets de chacun des deux sexes étant groupés par classes quinquennales d'âges, on forme une tible numérique à double entrée, dont le premier argument, composant la première colonne de gauche, est donné par les mariés hommes de 100 ans et au-dessus (limite théorique extrême], de 95 ans et au-dessus, et ainsi de suite, en retranchant cinq années d'une ligne à la suivante, jusqu'à Textréme limite opposée de i5 ansel au-dessus. Le second argument, composant la prenûère ligne horizontale de la table, est donné par les mariées femmes groupées de la même manière, à cette différence près que la seconde limite est, en ce cas, de 10 ans et audessus. Chaque case de la table reçoit le nombre qui correspond à ses deux arguments particuliers. Par exemple, la ligne horizontale marquée 40—» (4o ans et au-dessus) dans la première colonne de droite et la colonne verticale marquée 3o — 0» sur la première ligne supérieure déterminent par leur intersection une case dans laquelle fîgure le nombre 77 168; ce qui exprime que , pendant toute la période quinquennale considérée, 77 168 hommes âgés de 4p ^ns et plus ont épousé pareil nombre de femmes âgées de 3o ans et plus. La case correspondant aux deux limites i5 — •» pour les hommes, 10 — « pour les femmes, comprend évidemment tous

(*) Pour les diverses déductions et évaluations anticipées à tirer du dia^amm^ de Ber[^ et du stéréo{>ramme correspondant, voir J. Bertillon, Mode de prévision àe la statistique des naissances, dans la Nature, Paris, 1878, n** 282. — J. BebullO'* Note sur le diagramme de Berg et Elis Sidemdladh, Relation entre le nombre d^^ nés^vivants et celui de leurs survivants en Suède, dans les jénnales de Démographie internationale, Paris, 1879, n* U. — A. Ciiervin, Rapport sur la cartographie démo" graphique à la section des Sciences anthropologiques à l'Exposition universelle de 187B» dans les Comptes rendus du Congrès international de démographie, annexe 6, p. 261» Paris, Imprimerie nationale, 1879. — L. PEHOziOy Statistique graphique. Sur la repré^ sentation graphique d'une collectivité d'individus dans la succession du temps, et cH particulier sur les diagrammes à trois coordonnées, Rome, 1880.

(*) Luici Perozzo,' Stereogrammi demograjici, seconda Memoria, Roma, 1881. "" Voir aussi, dans une brocliure plus récente du même auteur [Stereogramma deU^ tariffa spéciale n" 3 — Derrate alimentari — a grande velocità délie Ferrovie dei* yilta Italia), la description dun stéréogramme dont les trois éléments sont le prl* d'expédition r, la distance de transport x et le poids^-, el dont la surface, z z=krf'f est un parabolojJe liyperboliq'.ie.

STEREOGRAMMES.

les mariages de la période et porte, en effet, le nombre i 08 1 2o3, fourni par Tétat civil.

Cela pose, on prend trois axes recUingulaires. Sur celui des x on porte

la notiition 100 — w à l'orij^ine et successivement, aux points equidistants

donnés par une c'chelle de convention, les notations 96 — «, . . . , i5 — w,

correspondant aux diverses classes totales quinquennales d'hommes. On

|>orte |>areillement et à la même échelle sur Taxe des y les notations depuis

100 — 6> jusqu'il 10 — «, relatives aux classes de femmes. Enfin, au point

fies jcy déterminé par l'intersection des coordonnées horizontales relatives à

une clasî»e totale d'hommes, // — w, et à une -classe totale de femmes,

y — w, on élève une ordonnée verticale z proportionnelle au nombre de

mariages contractés entre des hommes âgés de plus de // annifes et des

femmes âgées de plus de /années. Les sommets de toutes les ordonnées z

constituent le relief continu de la surface démographique de nuptialité.

Une section plane parallèle aux yz et passant par un point tel que 3o — &>

de Taxe des .r donne la courbe figurative des mariages entre les hommes

âgés de plus de 3o ans et les femmes de tous âges; de même la section

25 — ûï parallèle aux xz figure les mariages des différentes classes d'hommes

avec les femmes de 25 ans et au-dessus.

Dans chacun de ces deux systèmes de sections, l'aire comprise entre la courbe et le plan des xy est évidemment très petite ou nulle au voisinage de l'origine 100 — &>. Par suite du mode de cumulation adopté, cette aire va croissant à mesure qu'on s'éloigne de Torigine, en sorte que, sur le profil extrême i5 — « relatif aux hommes, on peut figurer les projections en ▼raie grandeur de toutes les autres courbes masculines et sur le profil extrême 10 — w relatif aux femmes les projections de toutes les courbes féminines. Ces projections permettent de déterminer, au moyen de constructir)ns graphiques très simples, certains résultats utiles que le stéréogramme ne donne pas directement.

Soit à rechercher, par exemple, combien d'hommes de 25 à 3o ans ont épousé, dans la |)ériode pour laquelle le relief a été construit, (les femmes de 20 à 25 ans. Les courbes AB, CD [fia' ^9) ^^^^ 1^^ projections des courbes masculines ^5 — w, 3o — w, sur le plan i5 — w de II dernière de ces courbes; les droites AP, BQ sont les projecticms sur le même plan des courbes féminines ?.5 — «,20 — w. Le segment AP, projection en vraie grandeur de l'ordonnée du point A, est propor-

Fig. 89.

l8o CALCIL GRAPHIQUE. - APPENDICE DV TRADICTEIR AU CIIAPITRB V.

tionnel an nombre de femmes de 25 ans et plus qui ont épousé des homni do 25 ans et plus ; BQ est pro[>orti(>nncl au nombre de femmes de 20 a et plus qui ont épousé des hommes de 25 ans et plus ; par suite, BE := BQ— représente le nombre de femmes de 20 à 25 ans qui ont éjwusé des homnxcï de 25 ans et plus.

De même, DF — DQ — CP représente le nombi*e de femmes de 20 i 25 ans qui ont épousé des hommes de 3o ans et plus, et finalement k serment BG ■- BE — DF, qu'on obtient en menant par le point A la parallèle h CD, représente le nombre de femmes de 20 à 25 ans qui ont épou»des hommes de 25 à 3o ans.

On serait arrivé au même re'sultat et par des constructions analogues si Von avait considéré, sur la section féminine extrême 10 — w, le trapèze compris entre les ordonnées masculines 25 — «, 3o — w, et les courbes ft'minines 25 — 'u, 20 — w.

Ce trapèze et le précédent ne sont, du reste, que les projections de Ia figure formée sur le stéréogramme par les deux courbes masculines et les deux courbes féminines considérées.

Des lignes d'une troisième espèce marquent sur le relief les traces de sections horizontales équidistantes. Chacune d'elles est affectée de sa cote, qui est le nombre z de mariages compris entre la section considérée et le plan des xf. Si c, représente la plus grande valeur de z, c'est-à-dire la

totalité des mariages figurés, la section —9 qui divise la hauteur du solide

en deux parties égales, indiquera à quels âges des deux séries de conjoints correspond la moitié des mariages. Dans le cas considéré, cette sectioo 4 st comprise entre les extrémités supérieures des courbes féminines 20 — « t.'t 25 — «u, mais plus près de cette dernière courbe que de la précédente.

L*âge moyen des c^pouses est donc compris entre 20 et 25 ans et, plus approximativement, entre 28 et 24 ans, ainsi qu'on le vérifie par une simple interpolation à vue.

La même section eét comprise entre les courbes masculines 25 — w et 3o — w, d'où Ton déduit que l'âge moyen des époux est compris entre ^5 et 3o ans. L'interpolation donne à peu près 28 ans.

126. M. Perozzo a construit aussi des stéréogrammes démographiques il coordonnées polaires.

Pour déterminer, dans ce système, Taire et la courbe d'un recensement, on trace, dans un plan vertical, à partir d'un point pris pour pôle et d» même coté de la verticale passant par ce point, les dix-neuf rayons nécessaires pour diviser 180° en vingt ouvertures angulaires égales, correspondant aux vingt classes quinquennales d'âges comprises entre o et 100 ans.

STÉRÉOGRAMMES. l8l

Le plus grand de ces rayons, correspondant à la classe de o à 5 ans, (ait tan angle de g* avec la partie supe'rieure de la verticale. L'angle est de 18" |30ur le rayon de 5 à 10 ans, et ainsi de suite jusqu'au rayon de 95 à 100 ans, qui se confond en direction avec la partie inférieure de la verticale. On porte, sur chaque rayon, ;i partir du centre commun, une longueur proportionnelle au nombre d'individus recenses de la classe quinquennale correspondante. Les rayons vont en décroissant à mesure que récartement angulaire augmente; celui de la classe c)5 à 100 ans est nul ou très petit. En raccordant les extrémité^s de tous ces rayons, on obtient, en coordonnées polaires, la courbe ou, plus exactement, la ligne brisée des recensés.

On opère de même pour chaque recensement quinquennal, et l'on dispose la suite des aires planes ainsi obtenues de telle manière que leurs pôles et les verlicides passant par ces pôles coïncident. Les plans méridiens des aires sont, d'ailleurs, régulièrement distribués autour de leur axe commun, en sorte que, si le relief doit figurer // recensements quinquennaux, les plans

de deux recensements consécutifs se couperont sous un angle de •

Les diagrammes polaires des recensements étant ainsi placés et découpés, on tracera les lignes des survivants en remarquant q»ic, [)our suivre une même génération, il faut descendre d'une classe d'âge quand on passe d'un recensement quinquennal au suivant. On joindra, par exemple, l'extrémité du rayon o-5 du profil de 175© u l'extrémité du rayon 5-io du profil de 1 755, et ainsi de suite.

Les surfaces isodémiques sont des sphères ayant pour centre commun le p61e de tous les profils et les lignes isodémiques sont les intersecticms du siéréogramme par ces sphères.

Les lignes des recensés étant planes, on construit aussi aisément les lignes isotomi(jues des recensements dans le système polaire que dans le système à trois axes (12^}.

On obtient des stéréogrammcs d'une lecture plus facile en réduisimt de moitié, sur le diagramme des recensements, les ouvertures angulaires égales qui correspondent à chaque classe d'âge. L'amplitude totale du diagranipue est ainsi réduite de 180° à 90**, et le rayon do 9") à 100 ans, qui coïncidait précédemment avec la verticale du pôle, devient horizonUil dans la nouvelle disposition.

On trouve d'ailleurs commode, pour l'exécution matéiielle du solide, de ne pas faire coïncider les verticales passant par les pôles des divers diagrammes, et de les distribuer suivant les génératrices équidistantes d'un cylindre à base circulaire de quelques centiuiélres de diamètre.

l82 CALCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE V.

Les Sphères isodémiques sont alors remplacées par des tores à section cir culaire (*).