PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE ANAMORPIIIQUE. IQI

*a figure, soit faite suivant une loi déterminée. Considérons, par ^'î^enople, lajig, 77 (105). Les horizontales et les verticales qui. correspondent à la suite des nombres naturels sont équidislantes ^t les coordonnées sont par conséquent proportionnelles à leurs valeurs numériques. Mais cette proportionnalité n'est pas nécessaire, et Ton peut imaginer que, les notations numériques restant les mêmes, les divisions équidislantes soient remplacées par des ^"Visions espacées suivant une autre loi quelconque. Le point A ^e riiyperbole xy = 10 qui, dans la figure originaire, était à Tinl^rsection de l'horizontale 5 et de la verticale 2, avait efiective- ''^ent des coordonnées de la valeur linéaire représentée par ces Dotations. Le point Aj de la figure transformée, situé à Tinterscciion de la nouvelle horizontale 5 et de la nouvelle verticale 2, ^ aura plus les mêmes coordonnées linéaires, mais il sera déter- '»iî né par d'autres coordonnées avant les mêmes notations numériques que les premières et pourra, dès lors, être coté 10 comme représentant le point A. En général, Thyperbole 10, courbe géo- 11 étriqué formée par la suite continue des points A, sera remplacée par une courbe, en quelque sorte arithmétique, cotée 10 et formée par la suite des points A|. Cette courbe permettra de relever sur la nouvelle figure tous les résultats que les hyperboles Totimissaient sur le tableau primitif.

La transformation sera évidemment avantageuse si les nouvelles courbes sont plus faciles à construire et à lire que les précédentes, ^l surtout si Ton parvient à remplacer les courbes par des lignes ^■"oites que deux points suffisent à déterminer. On atteindra ce **^sultat en faisant varier suivant une loi convenable les valeurs **néaires des coordonnées de la nouvelle figure.

M. Lalanne a été conduit à ces considérations fécondes en cherchant à convertir une table logarithmique à double entrée en un ^^bleau graphique à courbes d'égale cote. La somme des coordonnées de tous les points d'une droite également inclinée sur les *^es étant constante, il suffit de porter sur ces axes des longueurs Proportionnelles, non plus aux valeurs numériques des coordonnées, mais aux logarithmes de ces valeurs, pour que la droite soit le lieu géométrique de tous les points du plan dont ^^s distances aux axes forment un produit constant. Avec des ^xes gradués en parties égales, c'est-à-dire suivant la 1»*

alion numérique qui correspond exactement à la lui

i de variation linéaire, on avait la suite des hyperboles équiiatères de la Jig. -7. En renqjlaçant les divisions égales par une graduation togarillimique , les courbes d'égal produit cotées 1, a, . . . , 10, ... , deviennent des droites inclinées à 4^° s»'' '^^ axes. Les coordonnées de l'origine étant nulles, l'origine devra porter comme cote l'unité dont le logarithme est o. Celte transformation donne naissance à la /(^. 92 qui n'est autre que la réduction ù ses données les plus simples de Yabai/ue précédemment décrit (7G).

KiC- .)■..

Pour exprimer les mêmes considéi'ations en langage algébrique, cvenons au paraholoïde hyperbolique (lOo)

-i"e-r. y-- i"sr.

\»iz = ^- + y.

Quand on considère J.-',^»-', = comme trois coordonnées variables, cette nouvelle équation représente un cylindre horizontal, dont les lignes de niveau sont des droites parallèles, inclinées à 4^° sur les axes.

Ces droites, que la transformation a permis de substituer aux hyperboles de la iigure primitive, pourraient, à leur tour, être

PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE ANAMORPIIIQUE. IqS

""^■^ placées par des circonférences concentriques. Il suffirait, en ^"^t, déposer

POvir que l'équation proposée devînt

La graduation des coordonnées se ferait dans ce cas suivant les **^oînes carrées des logarithmes des nombres.

'131. Soit, en généralisant,

* écjuation d'une surface.

Supposons qu'on ait pu faire subir à cette équation une transformation qui la mette sous la forme

Posons

L'équation (2) devient

Faisons la traduction géométrique de ces transformations en graduant les trois axes suivant les lois exprimées par les relations ( -^ ). 11 suffit, pour cela, d'attribuer à j:, à j^ et à s des valeurs successives, de calculer les valeurs correspondantes de x\ j\ z\ et de porter à l'échelle ces valeurs sur les axes de coordonnées qu'on a ^oin de coter d'après les valeurs des variables primitives x, y^ z, »-*cs sections planes faites dans la surface représentée par Téqua- ^lon (4), au moyen de plans parallèles a celui des x' y' ^ donneront comme lignes de niveau des droites, si l'équation (4) est du premier degré en od et r; des sections coniques, si cette équation ^sldu second degré, et ainsi de suite. En général, si les deux axes L placi's dans le j)lan horizontal ont été gradués suivant les lois in- I Piquées par les relations (3), la nature des courbes de niveau sera l ^^terininée par le degré en x* et r' de l'équation (4). Or ce degré 1 peut être très inférieur au degré de l'équation (i) en x et j'.

M. Lalannc a donné à celte méthode de transformation le nom à^ anamorphose géométrique ( * ).

132. Le mode d'anamorphose précédemment appliqué (130) à la fonction z = xj s'étend à la classe tout entière des fonctions comprises dans la formule

car, en prenant les logarithmes des deux membres, on a

logZ = lf)g^(x)-f-log;;»(j),

de sorte qu'en graduant les axes du plan horizontal suivant les lois exprimées respectivement par 3rf=. log(j)(x) et par ^ ' = ^o^^{j')^ on transformera les lignes de niveau de la surface topographique représentée par la fonction proposée en autant de droites parallèles entre elles et inclinées à 45" sur les axes.

A plus forte raison sera-t-il possible d'anamorphoser en une surface réglée celle qui est représentée par l'équation

Il suffira, pour cela, de graduer les axes suivant les lois x'=r^[x) etj>'='|.;j).

L'anamorphose est donc facile lorsque, dans l'équation primitive, les variables indépendantes x el j sont séparables, ou lorsqu'elles peuvent le devenir par quelques transformations simples.^ Mais on ne peut pas donner une règle générale pour effectuer ces=^ transformations.

133. Quand l'équation primitive ne permet pas la séparalio des variables moyennant la seule substitution des valeurs a/= ?(«ï' ^ , y=^{^y) dans celte équation convenablement préparée, la sép^^^. ration devient quelquefois possible par la substitution des valeui. ^-j

(') Celle expression est empruntée aux physiciens, qui Tont employée pour ^^. sijjncr les dfforniations produites par la réflexion des figures sur des miroirs courbes de forinos et de positions déterminées.

PRINXIPE8 DE GÉOMÉTRIE ANAMORDIIIQUK. 196

Oonsidérons, par exemple, Téquation

On ne peut pas la simplifier en prenant de nouvelles variables qwi soient des fonctions distinctes des anciennes, car ces dernières sont réunies dans le dénominateur. Si, cependant, on veut avoir des droites pour les lignes de niveau, on posera

^l l'on construira sur les formules

deux tableaux graphiques à double entrée, le premier composé d obliques à 45°, le second consistant en un faisceau de rajons qui ^ son centre à Torigine. Le premier tableau fait connaître l'ordonnée auxiliaire j'; le second donne ensuite Tinconnue z'.

On peut éviter la construction du second tableau en mettant ' équation (i) sous la forme

y—nx^ . - H-.r ir^o, ^^y en posant z' -= -» sous la forme

y — [ax^)z' -h .r = o.

^^ a ainsi une équation du premier degré entre i el z- . I34. Soit encore la relation

^^sons *' Vient

Zizr

"ïroîs tables graphiques à double entrée sont nécessaires, dans ^^ cas, pour trouver la valeur numérique de z correspondant à ^^s valeurs données de x etdej'. Mais ces tables seront toutes

ig6 C\bCUL GRAPHIQUE. — CUAFITRB VI.

composées de lignes droites, si Ton a soin de graduer les axes des coordonnées en posant, pour la première table,

pour la deuxième,

et pour la troisième,

-." — -1 v" vî

z^^z', y"=::azr

Il est facile de comprendre qu'en soumettant la fonction primitive à des transformations successives de ce genre, on arrivera toujours à calculer les valeurs numériques d'une fonction à deux variables, au moyen d'une suite de tableaux graphiques à double entrée, qui ne renfermeront que des lignes droites. Mais la méthode perdrait ses avantages pratiques si Ton avait à opérer avec un trop gi'and nombre de tableaux.

135. Rien, dans ce qui précède, n'indique que les fonctions ^{x) et '^(j ), suivant lesquelles on gradue les axes des coordonnées, doivent aller toujours en croissant ou toujours en décroissant. Ces fonctions peuvent avoir des niaxiina ou des ininima, auquel cas les valeurs linéaires de la graduation des axes, après avoir été en croissant dans un certain sens, iront en décroissant, et devront être comptées en sens contraire.

Considérons, par exemple, riiyperboloïde représenté j)ar l'équation

yz -f- -c* — 20.A- -\- io4 = o.

Les courbes horizontales sont des paraboles.

Mais, si nous posons

x' =z ar^ — 20 X -h Io4,

nous aurons

yz 4-.r'=o,

et les lignes de niveau seront des droites.

A la valeur 4 de jf' correspond, pour j:, une grandeur minimci^j égale à lo. La cote lo sera, par conséquent, au point dont rsift:^. scisse est 4» ^t, les cotes 1 1, 12, i3, . . . , 9, 8, 7, ... seront sxjr la partie de l'axe qui s'étend au delà de ce point. Les valeurs m3e X sont imaginaires pour les abscisses inférieures à 4? ^^ P^i* sui Le

RÉSOLUTION GRAPIIIQL'E DES KQUVTIONS. — MÉTHODE DE LILL. I97

les droites transformées des paraboles sont parasites au delà de la parallèle à Taxe des ordonnées dont Tabscisse est 4*

136. Après avoir obtenu la transformation d'une figure au moyen d'une graduation particulière des coordonnées, on peut en déduire une infinité d'autres figures analogues, sans recourir à de nouvelles transformations des équations, par de simples projections orthogonales ou polaires, sur des plans, sur dos surfaces développables, ou même sur des surfaces quelconques.

L'anamorphose géométrique par voie de graduation des coordonnées peut, d'ailleurs, être appliquée à un système quelconque de coordonnées.

Par exemple, pour anamorphoser en une spirale d'Archimède û'=(»/ une spirale hyperbolique représentée par Féquation en coordonnées polaires pro = n^, il suffira de poser

p'r=: logo, ûj'rrz — logw

et de graduer respectivement suivant les lois représentées par ces deux équations le rayon vecteur et la circonférence sur laquelle on mesure les écartements angulaires.

II. — Résolation graphique des équations ( ^ ). Méthode de LiU.