Soit

tine équation de degré m, dont les coefficients A, B, C, . . ., M,

(* ) EucLiDR est considéré, à juste titre, comme représentant la somme des connaissances géométriques acquises jusqu'à son temps. Aussi, laissant de côté les recherches relatives aux époques antérieures, nous bornerons-nous à rappeler que les l'oii(]^in(>n(g de l'Analyse des équations du second degré sont contenus, sous forme Créoitiétrique. dans les quatrième et cinquième propositions du Livre II des Èlé" "^^nts^ et que la sixième proposition du même Livre présente l'importante construction qui conduit, dans la résolution des équations quadratiques, à ajouter aux deux 'v^erabres le carré du demi-coefficient de l'inconnue. Il faut citer aussi les propositions vingt-septième et vingt-huitième du Livre VI, et les Données LVIll, LIX, I-XXXIV, LXXXV, dans lesquelles on retrouve au complet la résolution par voie «: géométrique des équations du second degré avec des applications qui, de nos jours *'Qcore, n'ont rien perdu de leur intérêt. Clclide est même allé beaucoup plus loin,

N sont des nombres donnés. Soumettons-la à une série de divî-

car, dans les Données LXXXVI etLXXXVII, il enseigne à résoudre géométriquement les équations du quatrième degré de la forme

a* 1: yx' — n =■- o.

Des recherches récentes, soumises à l'épreuve de la plus sévère critique, ont mis hors de doute que les Grecs savaient construire les équations du troisième degré. Les auteurs de ces recherches ont trouvé de précieux éléments d'instruction dans le développement historique de quelques problèmes célèbres, tels que ceux de la dupli* cation du cube et de la trisection de l'angle, et dans les autres nombreux documents que l'école grecque noUs a laissés pour l'histoire de la construction graphique des problèmes du troisième degré. Il sufOra de citer les diverses constructions de cet ordre qui figurent dans les commentaires d'EiTocius sur le Traité de la sphère et du cylindre^ d'ARcuiMÉDE, la doctrine des maxima et des minima d'ApoLLOKics et les questions pour la solution desquelles Diopuamte eut recours à des considérations géométriques.

Dans les règles données par Braiimecupta, pour la construction du triangle rectangle en nombres rationnels et pour la construction des quadrangles, on trouve tous les éléments nécessaires pour résoudre les équations indéterminées du second

deirré et l'équation

en termes rationnels. ?ious devons signaler aussi les deux constructions graphiques de l'équation indéterminée

proposées par RuASCARA/ct les problèmes du même géomètre consistant à trouver, on nombres rationnels, les c<)tés du triangle rectangle dont l'aire est exprimée par le même nombre que l'hypoténuse, ou dont l'aire est numériquement égale au produit des trois côtés.

On trouve de très importantes recherches sur la construction graphique des équations dans les écrits mathématiques des Arabes. Mohammed bkn Mocsa s'est expressément occupé des équations quadratiques; Aboll Wëfa a laissé tout un Recueil de constructions géométriques. Parmi les nombreux écrits des autres géomètres arabes, nous nous bornerons à citer ceux d'ALKARRUi et d'ÛMAR Alkuahami. La question qui nous occupe y est traitée avec beaucoup de détails. Nous devons signaler aussi, dans ce trop rapide aperçu, le procédé connu sous le nom de plateaux de balance.

Léonard de Pise eut le mérite de faire connaître à l'Occident les travaux des Arabes, auxquels il ajouta le fruit de ses propres recherches. Lcca Pacioli écrivit Aussi sur la construction des équations, mais sans originalité et en imitateur fidèle de Mohammed ben Mocsa. Tartaclia et Carda!«o donnèrent ensuite les très intéressantes constructions géométriques qui se trouvent dans leurs Œuvres.

ViÊTE, Descartes et plus tard Newton firent entrer la construction graphique des équations dans une phase nouvelle, plus féconde en ressources et en applications. Il serait malaisé d'exposer en peu do lignes toute la suite de ces développements nouveaux. Nous pi*éférons renvoyer le lecteur aux deux publications suivantes, dans lesquelles nous avons coordonné tous les renseignements qu'il nous a été ilonné de recueillir : Notizie storico-critiche sulla costruzione délie equazioni. Modena, 1878. — Appendice aile notizie storico-critiche sulla costruzione délie equazioni. Mode n a, t88o.