M'M) = (OM) — (OM

APPENDICE

Théorème. — M et M' étant les points représentatifs de deux imaginaires,

i' Le point représmtat'f S de leur somme s'obtient en faisant la somme géométrique (OS) des deux segments (OJI) et (OM') ;

2° Le point représentatif D de leur différence s'obtient en faisant la différence géométrique (OD] des deux segments (OH) et (OM'j.

Soient, en eiret, a + bi et a' + b'i deux quantités complexes, M et M' {fig. 53) les points représentatifs.

Soient (05) la somme géométrique des deux sc'smonts (OJI) et (OM'), A et B les coordonnées de S.

Si on projette sur un axe quelconque, ou a :

proj, (OS) = proj. (0.\I) 4- pi-oj. (OM'j.

Projetons, orthogonalement, sur o.v et oy, et nous auro

A = fi -f a'.

bien que S est le point reprtiscntatit' de In somni

I do a

Ceci pi-ou et a' + i¥.

Prenons le point M'i symétrique de M' par rappocl i 0, et soit (OU) la ' "■" ■ 'a différence géomé-

somme géométrique de (OM) et (OM',). (OD) est a

351 LlîÇOiNS DE TRIGOKOMÉTIilR.

trique (OM) — (OM'), Or, M', est, comme nous savons (n° 180), le point représentatif de — (a' + ib'). D est donc, d'après ce qui précède, le point représentatif de la somme de a + ib et de ■— (a' 4- ï&'), c'cst-à-dirc de

a + ib ~ {a' + ib'].

Remauque. — Il résulte de ce théorème que, pour faire la somme ou la différence de deux quantités complexes, on est ramené à faire !a somme ou la différence géométrique de deux segments.

On peut encore remarquer que, le vecteur (M'M) étant équipollent au vecteur (OD), la distance M'M est le module de la différence des deux imaginaires, et l'angle M'iCj, M'M son argument, Wx^ étant parallèle à ox et de même sens.

Corollaire. — M,, Mo, ... M,, étant ies points représentatifs de p imaginaires, le point représentatif S de leur somme s'obtient en faisant la somme géométrique (OS) des vecteurs (OM,), (OMs), ... (OM,,).

Il suffit, pour établir celte proposition, d'appliquer p — i fois de suite îe lliéorème précédent.

186. Théorème. — Le module de la somme ou de la di/férenee de deiia: quantités complexes est compris entre la somme et la différence des modules de ces deux quantités.

Ce théorème a déjà été établi en algèbre ('). 11 découle presque immédiatement des considérations géométriques qui précèdent. Soient, en effet, deux imaginaires qui sont les affixes de deux points M et M' {fig. 33). La somme des deux imaginaires est l'afflxe du point S tel que

(OS) = (OM) + (OM'j.

OS est donc le module de !a somme et, d'ailleurs, comme nous l'avons remarqué, MM' est le module de la différence des deux quantités. Dans les deus triangles OSM et OMM', on a :