OM — OM', = OM H- 0.U
! point 0, sont de part
Le module de la somme est égal à la différence des modules et le module de la diiléi'ence est égal à la somme des modules.
Les arguments des deux quantités complexes diffèrent, dans ce cas, d'un tnuUiple impair de k.
Leur quotient est réel et négatif. Car, si p et a sont le module et l'argument de l'affixe de M, p' étant le module de l'aflise de M', t: + a est une-
256 l-EÇOHS DE TlllGOKOMtTillE.
des déterminations de son argument. Les deux quantités complei
Le quotient ~-j est bien rÉel et négatif.
^ious retrouvons, ainsi, par une voie géométrique, toutes les pailicularilés signalées en algèbre.
187. l'rodult et tinotieitt. — Théorème. — Le modale du produit de plusieurs quantités complexa est Égal au produit de leurs modules et l'argument de ce produit est congru à la domine des m'gimeuls des fuclcurs.
i° Cas de deux facteurs. — Soient
pfcos« + isina) et f'{cos «' + Uin a')
deux quaotitéB complexes, mises sous forme trigonoiné trique. Le produit de ces deux quantités est, en appliquant la règle de formation du produit de deux imaginaires ('),
p(cos a + i siu a) X p'(COS a' -f- i sin a.'} = Or, d'après les formules d'addition [38J et [39], on a
f (cos a + i sin «) X P' (cos «' + î si,i ='} = pp' [cos (= + «') + i sm (a + a')] .
Le produit est ainsi mis sous forme trigonométrique, et, de la réciproque do tliéorème du n" 183, il résulte que son module est pp', c'est-à-dire le produit des modules, et que son argument est conf;ru à la somme « + a' des arguments des facteurs.
2° Cas général. — Le théorème s'étend, comme en algèbre (^), au cas de plusieurs facteurs.
Soient a, p, y, S quatre quontilés complexes. On a, en considérant le produit apïB comme le produit de deux facteurs apy et 5,
( ]=.3ïSi = l«Pïl-|S|,
^ ' ( arg {aPïSj :- ^vg («Pï) + arg (5) .
yGoosle
APPKrîDICE.
Pais, de mÈtiLe, c
sn considérant npY comiiie le prodii
lit de a
f'Pi
( I c.|ÎY 1 = 1 «M ■ 1 ï 1 ,
{ arg (dpYJ = arg (ap) + acg (y).
El, eiiBii,
( ary (af;) := arg (a) -|- arg (^!).
Des trois couples
, d'égaliLés(f), (2) et (3), 011 conclu
i ar^75 1 = 1 a 1 . 1 M ■ 1 ï 1 • 1 6 h
irgWnS) =
SW-h.r8(?)+Brg(Y) + arg(B)
ce qui étalilit la proposition dans toute sa généralité.
Corollaire. — Le module de la puissance m'*"" d'une quantité imaginaire est égal à la puissance av'^''"' de son module. L'argument de celle puissance est congru à m fois l'argitmenl de la quantité imaginaire.
11 suffit, en effet, d'applique I le tliéorèmi; précédent à un produit de m facteurs tous égaux entre eu\
Théorème. ~ Le raoduh du quotient de deu <. quantités imaginaires est égal au quotient de leurs moduhs t( lur jument Cbt congru à la différence des arguments des deux let-nies
Soit, en effet, y le quotient des deux quaulites imaginaires i et p, comme
e qui précède,
EXERCICES
is forme H'igûiioméivique les quanlités ii
258 LEÇONS DE TIUGONOHILTKII':.
p étant un nombre positif donné. Quel est le lieu décrit par le point dont x+ yi
Lorsque M décrit une droite, quel est le lieu de M'7 Lorsque M décrit un cercle qael est le lieu de M'? Plus généralement quelle est Iî transformalion définie par cette relation?
Mêmea questions en supposant que, d'une façon plus générale, les aflixes de M et M' soient liées par In. relation
a, fi, c, d étant quatre nombiea lixes
87. Soient M et M' les points représentatifs ùe ûea\ imngni lires; P le point représentatif du produit de ces deu\ imagiodires Piou\ei que
o'Cm -h o'^o^à' := ^O^
a- Sil est un point pris sur oœ tel que 01 = + 1, les deux triangles 01 M et OM'P
sont semblables.
Énoncer et démontrer les propositions analogues pour le quotient, 88. Soient <i,, Os, «i, ... a,,, n quantités complexes fiie s et ::^ï-|-?/' une
quantité variable. Étudier la variation de l'ni^ument du produit
lorsque le point représentatif de 3 décrit une courbe fernnée.
On diatiuguera plusieurs cas suivant que la courbe fermée (qu'on supposera avoir une forme simple comme celle d'un cercle ou d'une ellipse) entoure un ou plusieurs des points dont les affîxes sont ai, u^, ... a,,.
