FORMULE DE MOIVRE. ADDITION, MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS
188. Addition. — La représentation trigouoméfriqiie clos imaginaires et, en particulier, le théorème du n" J87, vont nous permettre d'établir par une nouvelle Toie, très rapide, les formules générales d'addition démontrées dans les n" 79 à 81.
Considérons m quantités imaginaires : soient pi, pj, ... p^^^ leurs modules, a, , a, , ... a ^^ leurs arguments. D'après la proposition du n° 187, le module de leur produit est p^p^ ■ ■■?, ^^ l'argument de ce produit est
APPENDICt:. 3&9
conj^TU ù, Oi -|- a., + ■■ . + ' ; on en conclut l'êyalité fondamentale que
[661 Pi(cosa,-h!smo;.)Xfa(cosa, + isina,)X...Xp„,{cos»„ + ïsin5j = P,P, ■ ■ ■ K, [cos(a, + „, + ...+ «J + i sin(=, + «, + ...+ «^,i].
En particulier, on a, en supprimant, dans cette égalité, les factoLus
Pi- Pi' ■■■ P,n'
[67] (cos «1 + î sin a,) (cos a, + ï £in a,) . . . (cos a„, + i sin «,J
= cos (,, + a, + . . . + a„,) + i sin («, + =,... + = J.
Développons le premier membre de cette dernière égalité, et égalons, dans les deux membres, les parties réelles et les parties imaginaires. Pour faire commodément ce développement, mettons le produit cos a^ cos i,... cos a^^ en facteur, et désignons par P le premier membre de l'égalité [67]. Nous
P ^ cos =1 cos c,... cos «„, {1 + * tg =,) (i -I- Ug =J . . . (1 + i tg ,J. Il nous reste à effectuer le produit Q ;
Q=(i + itgo!,)(l -l-itga,),.. (i-fUgi,J,
Or, d'après la règle de multiplication des sommes, ce produit est égal à la somme des produits partiels obtenus en prenant, dans chacun des facteui-s, un terme et un seul. Ces produits partiels sont de diverses natures :
i" Nous obtenons un premier produit partiel en prenant i dans chaque facteur; ce qui donne 1.
3° Nous obtenons une seconde catégorie de produits partiisls en prenant i dans [m — -1} facteurs et le second lerms dans le facteur restant. Ces produits seront :
îtg«,, ng=.„ ... itgv
et leur somme est (T,, en posant
T. = tg«i+lg^,+ ...+lg=,,.
3° Considérons, en troisième lieu, les produits partiels obtenus en prenant 1 dans (rn — %) facteurs et" les seconds fermes dans les facteurs restants. Ces produits seront ;
■,'ngaitga,, inga,ls=<„... inga,tg«^, ...,
et leur somme est i^Tj en désignant par T^ la somme des produits deux à deus dos m fangentes tga,, tgn^,... tga^^ :
T2 = ig«, tga, -Ltgajtgc!, .+ .... 4-tg"itg<ï„, -h... .
yGoosle
Î60 LEÇONS DE TniGONOMÉTBlE.
4° Plus généralement, considérons Ips produits partiels obtenus en pienant I dans m — p facteurs et les seconds termes clans les p l'acleurs restants , et cela de toutes les manières possibles. Nous obtiendrons des pioduits partiels dont la somme sera i'' T,„ en désignant par l'p la somme dei pioduits p àj) des m tan^eules :
Tj, = lga, Ig^.-.lîia, +
u° Enfm, le produit de tous les seconds termes des facteurs de Q sera
Nous aurons donc, finalement,
Û = 1 M- ïïi + i^ T5 + P T, + i* 'l't 4- . . . . h «" Tm-
Eu lenanl «ompte des égalités
le produit Q prend la forme :
Q = M- îT, — Tj — iTj -l-T, + ïTa—
Séparons les parties réelles et les parties imaginaires, muitiplious par
pemeut de 1' ;
P = cos=f, cos=, ...cosï„, [I -T, +ï, -.,,.] + icosa, cosa, ...cosa„, 1T,~T, + T, -....] En vertu de l'égalité [67], on a
P = cos(a, + «3 + --. +a,J + ism(ai+o, ... + aj;
si donc on égaie, dans ces deux expressions de P, les parties réelles et les parties imaginaires, 011 parvient aux formules générales d'addition données au n" '79 :
M cos(a, + =.... +=„)^ cosa, cosa3...cosff;,i:i — Ïj + T,v — ....J, m sin («, + «, + ...+ „ J ^ cûs o, cos ^, . . . cos a„, [ï, - ï, + T, - . . .J. On en déduit, par division,
[f] tg (»i -!- «, H- ... + aj = ^-3j,v±.JJ-^■-.■.
189. Miiltipllcatloit. — Fonnule de Moirre. — Dans l'égalité [66], (|ui donne le produit de m imaginaires, supposons que ces m imaginaires deviennent égales et faisons
La relation devienl ;
[68] [p (cos ^ + i sin a)]'" = f™ (cos m« + i sin ma),
égalité qui découle, d'ailleurs, directement du corollaire du n" 187.
Si, dans l'égalité [68], on divise les deux membres par p™, ou si l'on f p — 1, on obtient la formule connue sous le nom de fùrmule de Moiwo :
dans laquelle m désigne un entier positif.
Remarque. — 11 est facile de montrer que la formule de Moiv s'applique encore au cas d'un exposant entier, mais négatif.
Soit, en effet, m un entier négatif; posons
Lier positif et, d'après la formul
Multiplions les deux termes du dernier rapport par la quantité cos m'a — ï'sinm'o;, conjuguée du dénominateur, et remarquons que le dénominateur devient :
Kn observant que
s ma =
ces
Sil
ima =
sin(
celle dernière égalité :
*' écrit, 1
enfin
(coso
■, + isi
cos
ma
ce qui établit letartitnde de la formule [69] dans le cas d'un exposant entier négatif
190. — Formule générale de multiplication des arcs. — De même que nous avons déduit de légalité [67] les formules générales d'addition des arcs, nous obtiendioo'-, en développant les deux membres de la formule de Moivre, les foimules démultiplication
im [.KÇONS m TlllGO?iOMÉTRIE.
Rappelons, ix cel effet, la formule connue sons lé nom de binôme de Sewton{'), qui <lonne le développement de (a + bf suivant les puissauces de a 011 6.
Soient m et p deux entiers quelconques, p étant au plus égal à?;*, on désigne par C^^ la quantité suivanle :
qui est le quotient du produit do j) nombres entiers décroissanfs à paitir de m par le produit des p premiers nombres eiitiers(*}. On a, alors, l'égalité que voici :
ia + 6)'" = «'"-.[- G^, n"""'6 -i- C}ji'"~^h^ -f c'^«"'~H' f + C^ &"\
Si on remplace les coefficients C^^^, C^.^, . . . par leurs valeurs, on a encore :
+ + j ah'"-' H 6'",
et il est facile de vérilîer que les coefficients des fermes à égnle distance des extrêmes, a" et 6'", sont égaux.
Ceci posé, appliquons cette formule au développement du premier membre de la formule de Moivre [69], en posant ;
(cosa + !sina)'" = cos"'a + iC*^ cos"' 'b sin œ -f ft^^cos"' V sin^a
Remplaçons t*, v',i'', ... par leurs valeurs ^1, — i, l, ... , séparons I parties réelles et imaginaires et il vient :
+ irc^^ cos"'~'œsino — C'^cos'"~'a sin'a + ...] .
(n La forniule du binûme de t^ewton i^tant esposée dans tous les Coins de Maltiémstiiii spéciales, nous croyons iauliie de l'établir ici. D'ailleurs, nous l'avone propoai^e plusieurs f
APPENDICE. S63
Or, d'oprL'K la formule ds Moivre, on a aussi
on en conclut, en comparant ces deux égalités, celles-ci :
[70] cos»ia = cos'"a — C^,^COs'""-a sin^a + Cj,^ C08"'"'a SÎn'n— ...
[71] sinma;=C' cos'"~'asinK— c'^cos"'~°asin"o;-|-CJj^coi"'~°(xsin''a— ...
qui sont les formules générales de multiplication des arcs. En les divisant, membre à membre, on a Igran :
V + C^, cos^'-n siii'a— ...
Dans celle dernière formule, divisons les deux termes par gos"'ï, vient, enfin,
^,2] ,„^,^l'g--'^ltg-a-HC:ig-a-
Écrivons encoi'e les égalités précédentes en remplaçant les coefficients C'' par leurs valeurs :
m{m-^)[m-2)im-Z
■i.,.i„.. m(m-i){ra
["'"1*— .;:!(^).,... ».(-<)(^ .a(gJ.,.....
191, Exemples. — Appliquons ces formules à quelques cas simples : i' Prenons m = 3, nous aurons :
COS 3a — ces 'œ — 3 cos a sïn 'a , sin3a = Scos^asina — sin^d,
formules que nous avions déjà trouvées au n" 84. En remplaçant sin =a
^a pur 1 — sin-a, les deux premières s'écriv
2" Prenons m = 4 :
cos 4a = ces 'a — 6 cos ^a sir . , 4lga — 4lg3a
lemcnt en fonction de cos a seulement :
s *a = R 0S>7 — 8 LOS s 1
C'est d'ailleurs l-i un fiit ^enéi-il La f imulc [70] ne c nti nf (ue des puissances paiitb de sin a on peut donc en > rempla ant «m a par 1 — cos^a, eipnmer rationnellement t-osma en fonclion de cos a, seulement.
Lorsque m est impau la formule [71] ne contient que des pui sance* paires de cos a; on peut d ne dans ce cas exprimer rtlionnellement sinwiix uniquement en fonrtmn de sina, comme cela a eu lieu poui sin3a
192. Division — I e problème de la diMsion des aies est le suivant
Connaissant les lignes de l'are a, eatetiler celles de l'are ou des arcs — . .
Nous avons donné, au n" 8ii, la marche générale à suivre pour résoudre ce problème; puis, dans les numéros suivants (86 à 90|, nous avons traité les cas élémentaires où le diviseur m était de la l'orme i^. Maintenant que nous possédons les formules générales de multiplication des arcs, il nous sera aisé d'aborder le cas général.
Nous étudierons d'abord le cas simple de la division par trois.
193. Triwcctiou. — Problëme I, — Connaissant cos a, calculer les lignes
tri^onoméiriqncs de l'arc |r .
lilcrivons la première formule [73] du n" 191 :
cos3a = 4 cos^a — 3 cos a,
el, d.ins celle formule, faisons a = r; il vient :
degré. Cette ëqualion a ses trois ri + I : Substituons, en eSH, dans
i réelles et comprises entre — le remier membre, successivement, •
- 1 — cûs <( < 0,
I,';ilternLincc des signes de ces quatre résultats do subsliLiUion m prouve(') qu'il y a une racine, en oos -, comprise eiilro — 1 et — -, i . une troisième entre - et (. Il y a donc (j
valeurs acceptables pour cos -■
L'équation (1) n'ayant pas de terme en cos^ -. la somme algébrique de ces trois valeurs est nulle.
Connaissant cos -, on a shi - par la formalo
Il y a six valeurs, d
X àdeiix égales et d
donc, a
■aleurs pour tg- ~.
Ces résultats sont faciles à expliquer.
Ce que nous connaissons, ce n'est pas a, c'ost cosff. 1,'équation {!' donne donc les cosinus des tiers do tous les arcs ayant niCme c que a. Or, ces arcs sont compris dans la formule [23j :
s sont donc donnés par ;
aee leçons de trk;oxoh1'Trie.
Nous allons montrer que tous ces arcs n'ont qac troi En effet, si /; est multiple de 3,
Si k est un multiple de 3 plus 1,
h = 3/1+ 1, /2S-K ^ (A A, , 2- , a\ /Sx ^ rA
"^■^Hx - 3J ^ =°H-'" + T ^ 3J = ^°HT - 3J ■
r':nlin, si h est un multiple (te il moins I, k = 3h— \, ,..(^.|)^»(«.-|.|)^.o.(ï,|),
ces deux dernières valeurs sont égales aiiï deux précédentes. Il n'y a donc bien, en tout, que trois valeurs pour les cosinus :
cos ^,cos(-^-h^j, cos(---j.
lin remarquant que
'^°^ l,"3" ~ âj ^ *^°'^ Vy "'" 3/ '
il est facile de vérifier que fa somme des trois valeurs est nulle, car on a <i faire la somme de trois cosinus d'arcs en progression arithmétique (voir n- 92).
Les sinus ont sis valeurs, deux à deux éfçales et de signes contraires,
± sm ^, d: sin \^^ + gj, ± sm ^-- — -J .
On peut encore vériQer ces résultais par une voie géométrique.
Pour cela, faisons une remarque préliminaire. Considérons (^jj. 33), sur
un cercle orienté, tous les arcs AM d'origine A et d'extrémité M. Prenons le tiers de l'arc géométrique AM et soit AN cet arc. Les tiers de tous les arcs AM sont terminés en l'un des trois points N, N, ou Ng qui sont les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle dont un des
sommets est N, Le tiers du plus petit an en N. Tons les autres arcs AM se déduisant du plus petit aro positif en lui ajoutant ou retranchant on nombre entier de circonférences, les tiers de ces arcs s'obtiennent en ajoutant ou retranchant à l'arc AN un nombre entier de tiers de circonférence. En ajoutant un premier tiers, on obtient le point N, ; puis, en ajoutant un second tiers, on parvient en Nj ; enfin, en ajoutant un troisième tiers, on revient en N. On repasse ensuite successivement par Nj, Na et N.
Ceci posé, soit, sur le cercle frigonométriqne, A une orig-ine choisie ai
iset des sinns relatifs à cette origine (/Î3. 36).I'ri
368 LEÇONS DE TlilGOr^OMÉTlilE.
et, en P, élevons une perpendïculaiie à ox qui coupe le cercle en M et M', ïotis les arcs d'origine A, admettant pour cosinus OP, sont termiués en M ou en M', Soit N l'extréniité du liera du plus petit arc positif AM; d'après co que nous venons de dire, les tiers des arcs lerminés en M auront leurs exirémités en l'un des trois sommets du triangle équilatéral NNiN^- Prenons le symétrique iS' du point N par rapport à oai; il est clair que l'un des arcs tei-minés en M' aura pour tiers un arc terminé en N'. Les tiers de tous les arcs terminés en M' seront donc terminés en l'un des sommels (lu triangle équilatéral N'N'iNV Les deux triangles éqiiilatéraux NN,Nî et JN'N'iN'a, ayant un premier couple de sommets, N et N', symétriques par rapport à ox, sont évidemment symétriques par i-appoit à ox.
Il en résulte que les six sommets de ces deux triangles se projettent, deux par deux, aux mêmes points sur ox et eu des points symétriques pay rapport à sur 0^.11 n'y a donc que trois valeurs OQ, OQ,, OQ^ pour les cosinus;
il y a six valeurs égales et de signes contraires, deux â. deux, pour les sinus.
On pourrait encore vériller que la somme des trois cosinus est nulle :
ÛQ + UÏJi + ÔQ2 = 0.
En eiïet, comme il est aisé de le démontrer, le vecteur (ON) est épal cl directement opposé à la résultante des deux vecteurs (ONj) et (ON^'l- On a donc, en projetant sur un axe quelconque,
proj. (ON) 4- proj. (ONi) + proj. (ONjl = 0.
Il suffit de projeter sur ox pour obtenir la relation précédente. En projetant sur oy, on en concluerait que la somme des sinus des arcs AN, ANj et ANj est également nulle.
194. Problème II. — ConnaUsunt sin a, calculer les lignes triijononié-
(li° lÛlj, faisons i ^ - ;
qui donne sin -, connaissant sin a. Celte équation a exactement la même
forme que l'équation (1} à laquelle nous a conduit le problème précédent. Los conclusions sont donc toutes semblables. On trouve Irois valeurs pour
sin- dont la somme est nulle; et six valeurs, deux à deux égales et de
APPIÎINOICE. S69
Ces résultats s'expliquent comme précédemment. En particulier, dans l'interprétation géomélrique, on trouve encore que tous les tiers des arcs ayant même sinus sont terminés en six points qui sont les sommets de deux trian;*les équilatéraus sjmétriques par rapport à oj/. Ceci lient, au
fond, à ce que les deux arcs ~ — -„- et -- + - sont supplémentaires et,
par suite, que l'un des sommets de l'uu des triangles est symétrique d'un sommet de l'autre.
Nous laissons au lecteur le soin de faire ces d
