L.L J., ,„i,le,ig„e

pour' pour

-L-4-' <l»i » le >ign« le .isne + .

L'alternance des sig-nes de ces substilulioiis nous prouve que l'équalion

LEÇOMS DE 'nilCÛNOMÉTlUE.

Il y a (lono toujours trois valeurs pour tp-, ConnaissanL ces valeurs on aura, facilemejit, cos^ et sin- par les formijles ;

V' + *3 V' + 'S'iJ

Il y a donc six valeurs, deux à deux égales pt de signes contraires, pou le cosinus ; et de même pour le siuus.

Ces résultais étaient faciles ii prévoir.

Tous les arcs admettant même tanfjcnte que lave a sont, en etfel compris dans la formule [25]

où h est nii entier, positif ou in?giilif. Les tiers de ces arcs sont don conipiis dans la formule

Si ;; est un tiiultlpla de 3, A ^ 3/,, on a

Si /; est un multiple de 3 plus 1, i=3/(-[- 1, on a

Kntîn, si S est un mullipie deS plus 2, A = 3ft + 2, on a

'«(Ï+î) = '«KÏ+I)='«(t+I)-

31 n'y a donc Lien que trois valeurs pour les tangentes de tons ces arci

APPENDICE. 371

On verrait, sans difliciiité, que chacun des trois cas précédents donne deux valeurs égales et de signes contraires pour les cosinus et pour les sinus.

Géométriquement, voici comment les résultats s'interprètenL

Soit A un point pris, sur le cercle trigonomélrique, pour orii;ine des arcs ; t't l'axe des tangentes relatif aux arcs d'orig-ine A.

Prenons, sur ('( {fi,j. o7),

et joignons T au centre du cercle. Cette droite coupe le cercle en deus

points, diamétralement opposés, M et M'. Tous les arcs qui admettent Aï pour tangente sont terminés eu M ou M'. Soit N rextrémilé du tiers du plus petit arc positif AM ; les tiers de tous les arcs lerminés en M ont pour estrémités les sommets d'un triangle équilatéral NN,i>!i. Ceci posé, remarquons que, si a est l'un des arcs terminés on M, a -}- 3j: aura son

extrémité en M' et les tiers de ces deux arcs, qui sont - et - + 7:, auront

272 LEÇONS DE TilIGO.NOMCTUiK.

leurs ex^mités diamétralement opposées. Le point N' dianiétralemeut opposé à N est donc l'exlrémité du tiere Je l'un des arcs AM'. I! en résulte que les liera de tous les ares AM' sont terminés aux sommets d'un triangle N'N'jN'j symétrique du triangle NNiNj par rapport au centre 0. Les tiers de tous les arcs qui admettent AT pour tangente sont donc terminés ous sommelg d'un hexagone régulier N Na' Ni N' JNa N'i inscrit dans le cercle. Ces six points étant deus à deux diamétralement opposés, il y a trois valeurs pour les tangentes,; et, respectivement, six valeurs, deux h deux égales et de signes contraires, pour les cosinus et les sinus,

196. Remarque. — Dans les trois problèmes précédents, nous nous sommes proposé de reclierch.et' les lig'nes de tous les arcs qui sont les liera de ceux, qui admettent une ligne donnée. Si on spécifiait celui des arcs dont on veut calculer le tiers, il faudrait, parmi les diverses solutions, faire un clioix. Ce choix sera toujours facile à faire, car on pourra toujours prévoir aisément quel est l'intervalle dans lequel se trouve la racine cherchée.

JCn effet, dans le cas des deux premiers problèmes, les racines sont

séparées par les nomhres - et — ^ . Or {î\° 72),

— 5 = cos y = Slll -- ■ Il n'y aura donc qu'à comparer l'arc dont on cherche les lignes à ~ et

Dans le cas oii on donne la tangente, les laciiies de l'équation (3) sont iéparées par ±: —^ . Or,

il suflira donc, dans ce cas, de comparer fai'c à ^ et -- . Voici des exemples de ce genre ; , Exemple I. — Siiokant que cos ~ = -^ , calculer cos ~ ■

Posons cos--^~ii; ; d'après le problème T du n° 193, x sera r i'équalion

APPENDICE

Cetif? équation a pour aolulions :

Of, comme on a :

il faudra donc prendre celle des trois racines qui est comprise eiilrf Ces Irois racines sont faciles à calculer. En effet, on il ;

('î;!+»Ucosï;=

l.'équalion doit donc admettre une première racine éi^ale à (ille s'écrit, alors :

V + ¥) (^•*'-2'/3a; - ij = .

Les deux autres racines sont donc données par l'équation du second dcgrÉ :

kx'-~%\l^x — i = 0,

et. pour avoir cos^^, il faudra prendi'e la racino positive. On a donc, linalement,

ExKMPLE II. ~ C'dculer tg --, aachanl qw.

Posons tg ^V = .T-'- et appliquons ici l'équation (3) da n- lOo, n l'équation ;

Î7i LEÇONS DE TRIGONOMÉTUIE.

Cette équation ailmet pour racines :

tg ^-; , l\ Comme

1,3 ' 2i) '*^ 8"' '^1,3 ~'~ aV '^24'

Il l'aul donc preiidre ia solution positive plus pctilc que ~^. Or, Tune des

solutions de l'équation est connue, c'est :

L'équation s'écrit, alors,

(a..-.Va-0 [»= + 2(a- V2)^ + 3\/3-3] = 0.

tg- ^ est donc la racine positive de réquatiou ;

On en conclul ;

On a d'ailleurs, d'après une (ransformation connue,

Va — 6 V2 = V^6 — \'i, et, finalement,

197, Cas général. — ProMème I. — Calculer les ii'jnes U-içjonomi-

Iriijues des ans —, connaissanl cos a.

Dans la formule [70] lîu n° 190 qui donne cosîh sin a, faisons n = — et nous oLtenons l'cqiiatiou ;

(I) cos'"-— C; cos™-'- sin'- + C,^,cos'"-' -sin'-

yGoosle

APPENDICE, qui, jointe à la relaLlon

permet, de caleulev cos — ftl. sîn --, Posons

cos — = 3i,

et, en portant «es valciira dans l'égalit.é (1), nous oblenous finalement,

[i] x"'-^Gy"-\i-x') + Glx"-\l-x^f-...-cosa=^0,

qui est nne équation de degré m en te.

Cette équation a m racines réelles comprises enl.re — 1 nt + i. Pour lu vérider, substituons, dans le premier membre, à w, successivement les („, + 1| nombre. :

Il est faolle de voir que deux nombres consécutiCs de cette suite donueut des résultats de substitution de signes contraires. Si on remarque, eu effet, qu'en vertu de la formule [70], on a :

cos ' — -C^j^cos *-siii î— 4-C^^^cos '—sin î^ ...

^,ospr:^{-I}\

on eu conclut que le résultat de substitution de cos— à x dans le

premier membre de (2) est :

et, par suite, a le sif;ne de (—1)''. En faisant, successivement, p = 0. p^ 1, p = 2, ... p — m—i, p = vi, on a les m + 1 résultats de subalilution des m + i nombres précédeufs qui, par suite, sont, alternativement, des signes (+) et (— ). Il en résulte que, dans cliacun des intervalles

(mosJ), (».S,o..|),... {^^'^^.->y

il y a une racine de l'équation (2). Il y a donc bien m racines acceptables

aie LEi:o:^s de thuiûnometrie.

pour a;; donc, «i valeurs pour cos — . A ces m valeurs, correspondent 2111 viileuts pour le sinus, égales et de signes coutraires, données par l'égiilitô

par suite, 2m valeurs pour la langente.

Pour expliquer ces résultats, faisons d'abord la remarque {i^énérale puivanhH, qui nous sera iilile dans !fs deux problèmes que nous traiterons à la suite de celui-ci.

Considérons, sur un cei'cie orienté (^, iiS), tous les ai'cs AM d'origine A et d'extrémité M. Marquons l'extrémité N de la m'™" partie du plus petit ^positiFAU. Les extrémités tous les arcs — AM sont les

soiiimels d'nn polygone régulier convexe NN,NiNa ... de m cO(és, inscrit dans le cercle, et dont le premier sommet eslN.

Soit, eu effet, a le plus petit iu'c positif AM. Les diverses déterminations de l'arc AM sont m'':""' parties de ces arcs sont

L'arc ~ est terminé en N. L'extrémité de l'arc — \ — '- s'obtient en prenant un arc NNj é^al à — c'est-à-dire à la «1'""* partie de la circonférence. Pour avoir l'exlréuiilé .N^ ds l'arc - -1- — , il faut auf^meuter l'are

précédent d'un arc N.Nj égal encore à — ; et ainsi de suite. Au bout du m opérations, ou revient au point N et le polygone ?iN,N2 . . , est évidemment un polyfione régulier convexe de m côtés, puisque les arcs sous-tendus sont égaux, chacun, à la m"™ partie de la circonférence. Ceci posé, soit, sur un cercle trigonomélriquo 0, un point A pris pour

APPENDICE, i (^3. 30); ox, oy les ascs des

et des sinus l'olutifs

et élevons, en P, une pnrpeiidiiiiilaiie h ox qui coupe le coi-cle en M et M'. Soit iS rexlréraité de la m'™= partie du plus petit arc positif AM ; le point [S'

symétrique de N par rapport à o.v, sera ÔMdi mment lexfumite de li ,j,î*me partie de i'ari; négatif AM' de plus petite \ ^leui aLsohie

Les eslrémités des m'*"'" partieà de tous les arcs teiminéa en M et M' seront donc les sommets de deux polygones réguliers convexes de m i-rttes NNjNî . . . , N'N'iN'î . , , , inscrits dans le cercle. Les deux sommets N et IN' étant symétriques par rapport à ox, tous les sommets de ces deux polygones sont, deux à deux, symétriques par rapport à ox; ils ont donc, deux à deux, mêmes projections sur ox et des projections symétriques par rapport k o sur oij. 11 n'y a donc que m valeurs pour les cosinus des arcs terminés en N, N,, N^, . .. N', N'i, N'a, ... et 2m valeurs, deux à deux égaies et de signes contraires, pour les sinus.

2~9 LEl;O^S DE TRIGONOMliïIUE.

On iiurait encore pu interpréler les résultats de la façon s Les m^'™" parties de tous les arcs aj'aot mûme cosinus q compris dans la l'ormule

Si 7i est an multiple du m, li = km, on a :

™(^A'±2)=c„,(M,=tî)=c„,f;,

•Si h est un multiple de m plus \, k=: km +1, on a :

Si k est un multiple de m plus 2, Â; = km + 2, on a :

Et ainside suite; flualemeni, lorsque k est un multiple de m plus h=hvi + m — i, on a :

Il semble, ainsi, qu'il y ait 2m — ^ valeurs pour le cosinus, mais il est facile de voir qu'il n'y en a que m différentes, lîn effet, p étant un entier positif plus petit que m, la somme des deux arcs :

est égale à 2r.. Ces deux arcs ont donc m^me cosinus et des sinus égaus et de signes contraires. Il y a donc m valeurs pour les cosinus qui

et 2m valeurs pour les siiiEis,

m' \m mj' \m 'm/' V »* 'V

deux à deux égales et de signes conlraires.

198. Probléine II. ■ — Calculer les lii/nes trhjowjinèlriques des arcs — , connaissant siii o.

Dans k formule [71] du n" 190, faisons a = - et nous obtenoni l'équalioii ;

(3) C', cos"'~' — sin--C,^^ cos"'~'-siii^— +C;',^ cos^'^-ain"

I y a, alors, clens cas à distinguer suivant la parité du iioinbie m, ° m fis! impair. — Soit

Dans ce cas, l'équation (3) ne contient que des puissances paires de cos— et peul s'écrire :

et l'équation (3) s'écril, eiidn, en mulliplinnt les deux membres par (— 1)"' et intervertissant l'ordre des termes.

yGoosle

980 LEl,:OI\'S DE TII1{;0NUMETUIE.

C'est une équalion de degré m en « ayant exaclement. la même forme que l'équation (2) .obtenue dans le problème précédent (n" (91) ; elle a donc m racines séparées par les nombres

-f-l,cos — , cos— ,... cosL l-^ — i.

Il y a, par suite, m yaieurs pour les sinus ; et 2m valeors deux à deux égales et de signes contraires pour les cosinus données par 3a formule ;

L'équation (3) ne oontieut alors qiio des poissaucea impaires, aussi bien de cos— que de sin —, Le premier membre de celte équalion n'est donc

entier ni en cos -- ni en sin — , et il faut nécessairement faire une élévation au carré pour obtenir une équation enUère. CoLte équation

cos-rc\os^'"'~^-sin-' —cl^ci,s-"''^^~sin''~+ —

.^,l)-'-'C™-'si„--'i!j^sina.

ms aurons :

Élevons au carré les deux membres, ce qui n'introduira pas de solutions étrangères, <i cause du double signe, et nous o1)tenons, fliialemeot, l'équation :

(3) a -:c^)[C'ji -atT'^'x^C'jl- ic^)""-\^ +

-^[-i)""-'cZ-'x"'-J-sm'-a^O,

yGoosle

APPE-NUICE. i

(lui est de de^ré 3m en x. Elle a 2m racines réelles qui soiiL l'aciles

séparer. En effet, substituons « w, dans le premier membre, cos^

p élant un entier quelconque.

Le résultat de substitution est, comme il est facile de le vérifier,

Lorsque p est pair, le résultat de substiiutioii est égal à ~ sin^ a, à négatif. Lorsque p est impair, ce résultat est égal à 1 — siii° a ^ cas donc positif. Si donc on substitue les (2m 4- 1) nombres décroissants.

les résultats de substitution seroni, alternativement, négatifs et positifs, et il en résulte, qu'entre deux nombres consécutifs de celte suite, il y a toujours une racine de l'équation (a).

Comme a: ne figure qu'à des puissances paires, il y ^ tlonc toujours 2m

valeurs, deux à deux égales et de signes contraires, pour sin — . Il y a aussi

2iîi valeurs pour cos — , car à ciiaque valeur do x ne correspond qu'une

Yaleur pour cos — .

En effel, on a :

mais le signe qu'il faut choisir devant le radical est déterminé par le fait que l'équalion (4*'') doit être vérifiée. On prendra donc ce signe tel que le premier membre de cette équation soit du signe de sino.

On peut remarquer que lorsqu'on change .-c en — œ, le premier membre de l'équalion (4''^) change de signe. A deux valeurs égales et de signes contraires de x, correspondent donc deux valeurs égales et de signes

contraires de cos— , par suite, la même valeur pour tg— . H n'y a donc

que m valeurs pour les langentes.

— Expliquons tous ces résultais.

Soit A, une origine, choisie arbi Irai rement pour les arcs, sur le cercle tiigonométrique ; ox et oy, les axes des cosinus et des sinus des arcs d' origine A. Prenons {/îi;. 60 et 61), sur oy, un segment OQ.égal àsinn et menons en Q la perpendiculaire à oy qui coupe le cercle en M et M'. Tous les arcs dont le sinus est Ôtj sonl lerrainés en H et M'. Soil ?\ l'exlrémilé de

H8Î LEÇONS DE TIllCONOMCTIiiE.

la m''™ parlie du plus petit arc positif AM. Les m"»™ parties de tous les arcs terminés en M auront pour extrémités les sommets d'un polyg-one régulier de j» côté?, insopit dans le cercle, NNjN^...

Cela étant, distinguons deux cas :

i° m est iwpair. — Dans ce cas, a étant le plus petit arc pasitîC AM, l'ai'c mr. — a est terminé en M'. Les m''""' parties de ces deux arcs sont

"î-îr^

— et -■ et, par suile, sont terminées on dos poiiits N elN' (/i;;. flO) symétriques par rapport à oy. Tous les arcs terminés en M' ont donc pour wi'^""" parties des arcs terminés aui sommets d'un polygone régulier de wi côtés, N'iNINj... symétrique du polygone NN^Nj... par rapport à mj. Les 2m sommets des deux polygones se projettent donc, deux par deux, aux mêmes points sur oj/ et ont Jes projections deux à deux symétriques par rapport à o sur ox. Il y a m valeurs pour les sinus et 2m valeurs, deux à deux égales et de signes contraires, pour les cosinus. 2' m es( pote. — Alors (jîi/. 61), il n'y a, dnns le cas le plus général,

Al'PEiNUiCE. 983

aucune relalimi de symétrie enfre les deux polygoues NN,Nj... N'NjN^... par rapport ans axes ose et oy. Les 2m sommets des deux polygones se projettent donc en 2m points distincis surox eloy et il y. a 2m valeurs pour les cosinus ainsi que pour les sinus. Ces 2m valeurs sont, deux à deux, égales et do signes contraires car, m étant pair, les sommets d'un même polygone NNiNi... sont deux à deux diamétrale meut opposés. Il en résuUe qu'il n'y a l)ien que m valeurs pour les tangentes.

On peut cependant vérifier, sur la figure, un fait intéressant, c'est que les Zm valeurs des sinus sont les mûmes que les 2m valeurs des cosinus. En

effet, si— est impair miné en M'. Les m"""

c terminé en M, l'arc —

:[ est ter-

parties, — et - — —, sont donc des ores complémeritoires. Les sommets du polygone H'N^N^... sont donc, respectivement, les extrémités des arcs complémentaires de ceux qui ont pour extrémités les sommets NNiN^.... du premier polygone.

I terminé on M .

^ est pair, a éUint un arc AM , Tare ^ t: -|- « est a

98i LEVONS DE THiGONOMETlllIi:.

Les m'''"'" parties, — et- + ~i sont terminées eu doux sommets du mfime polygone NNiN^... Les arcs terminés aux sommets d'un rnSme polygone ont donc pour les sinus et les cosinus la même série de valeurs.

Ce résultat serait d'ailleurs facile à vérifier sur l'équation (a) qui ne change pas quand on y remplace a; par \'i — a^.

On ponrrait encore ici interpréter les l'ésultats d'une autre manière. Nous laissons au lecteur le soin de le faire, eu suivant une niarclie identique à celle que nous avons suivie dans le problème précédent. '

198. Problème III. — Calcidci' les Uijiics triijOnomilHqiies des arcs—, eoimaissarU igif.

Dans la formule [72] du n" 190, remplaçons a par —, puis, cliassons les

iléiiomina.teurs. Nous obtiendrons uinsi l'équation {6] C',, tg " — C,^,, tg^ - + Ci^ Ig" -^ — . ..

= tg« l^d -c,;ig'J + cl tg'^— ...]

qui donne tg- — en Tonctioiï de tg a.

et ordonnons l'équation suivant les puissances croissantes de x, elle

(7) tg a — C,', X — C^, tg a-x- + Cl^ ai' + C', tg a-x' = U.

C'est une équation de degré m dont le dernier terme est i

± tg a-w'", si m est pair et ± m'", si m est impair.

tille a m racines que l'on pourrait séparer, comme nous l'avons fait dans le cas de la trisection, en substituant dans le premier membre de l'éqtiation (1) les {m + i) nombres

et véi'i liant que les résultats sont, nlternativement, du signes contraires.

APi'ENLICIi.

eS3 rexisteiicc do

L'intei-préfation suivante mi;t, d'ailleurs, bien en ces m valeurs.

Soit l't l'axe des tangentes (fig. 62) relatif aux arcs d'origine A. Prejions, sur t't, un segment AT éfral à tg a. I,e diamètre du cercle liisonométrique qui passe par T a pour extrémités H et M', qui sonl les extrémités de tous les arcs d'origine A ayant AT pour tangente. Les m™'" porlics de tous les arcs lerniinés en M et en M' ont pour extrémités les sommets de deux

polygones NN^N^..., lYN^N^..., r6;juliers, de m côtés, inscrits dans le cercle.

1° Si m est pair {fig. 62), cliacun des deux polygones ayant un nombre

pair de côtés, ses sommels sont deux à deux diamétralement opposés. Les

arcs terminés aux m sommets d'un même polygone n'ont donc que — tan-

; il y a donc m valeurs pour les tangentes, m est impair {fig. 63), et si a est un arc terminé en M,

tr.-\-a est

un arc terminé en M'. Les m''""" parties — et j: -f- y sont donc des arck terminés en des points N et N' diamétralement opposés. Il en résulte que

386 LEi;Oi\S l)E lUIGO^OHItlTIilE.

les sommets des ileas polygnnes NN^N^..., N'NiNj... sont, deux à dei

diamétrale ment opposés, il n'y a donc encore que m langenles.

Pour les SLUus et les cosinus il y a, dans les deux cas, 2m valeurs à deux égales et de signes contraires.

EXERCICES