CHAPITRE III

RACINE m«™ D'UNE IMAGINAIRE. - ÉQUATIONS BINOMES

200. Roeiiio jii'^™iî tl'diie li>i»g:liiaii-c — Trouver une radna îii**"'" trime quantité iinagimire, c'est Irouver une autre quantité imaginaire dont la puissance m'*™ soit égale à la première,

La formule de Moivre [68] {n" 18U} nous donne, immédiatement, la solution trigonométrique de celle question.

Supposons, en elïel, qu'on ait mis k quantité imaginaire donnée sou* forme trigonotnéirique,

)■ (cosa-|-isinn), et soit

^ (cos ;> + i sîn «) une racine m'™'^ On devra avoir l'âgalité

[p (ces .. + t >in ..)]'" = >■ (et

388 i-EÇONS IIE TRI(iON0MÊTHHi.

qui, en vertu de la formule [68], s'écrit :

Comme il n'y a qu'une seule manière <le meltre une quantilé iinagÎQaire sous forme liigonométrique, celle égalilé ne peut avoir lieu que si les modules des deus membres sont ô^aux et les argurnenls congrus.

On doit donc avoir :

f™ ^ ,■, nw = ^ + 2kT., k étant un entier positif, m/galif ou nul. On en lli'c pour f une seule valeur :

Toutes les racines m''''"' comprises dans la foi'mule

"Ks-t)--e+¥)l

Il est, d'abord, aisé de se rendre compte que, lorsqu'on donne à S toutes les valeurs entières positives, négatives ou nulles, possibles, celte formule fournit m racines différentes, et m seulement.

Remarquons, à cet effet, que si on donne à k deux Tuleurs qui diffèrent entre elles d'un multiple de m, les deux valeurs correspondantes [74] sont

égales, car si k varie d'un mulfiple de m, — ^ varie d'un multiple de 2x et,

l'argument do l'imaginaire {74] variant d'un multiple de 2ir, celte quanlité conserve la même valeur.

Donnons, alors, àft,)«valeursentièresconsécutiv par exemple. Nous obtiendrons m racines qui llnctes, car les arguments de de^ux de ces racines ne sont pas congrus. Si l'on donne, ensuite, à k, une valeur entière quelconque, on retrouvera certainement l'une de ces m racines, car tout nombre entier, positif ou négatif, ne diffère de l'un des nombres 0, 1, 2, ..., (m — 1) que d'uji multiple de m.

En résumé, la quanlilé imaginuire

r (cos îc + i sin a)

APPENDICE

( m''""-' et m seulement gui sont :

l" Toute quantité reelle a a. m racines hi'^'"". -— S écrire {-1-184):

Si fl est négatif, ou peut Bcrire :

3l les racines m'^""'' sont :

5" l.a quantité i s'écrit ;