I.EÇOÎJS DE TUIGONOMÉTBIE

sont donc deux problèmes identiques. On en inôme a m racines distinctes, puisque tout

calcul des racines m™" conclut que toute éqtiali nombre a am racines m'™"^.

Nous avons déjà montré en algèbre (') que, dès qu'on connaît jing racine de l'équation (I), on obtient toutes les autres en multipliant cette racine par toutes celles de l'équation binôme

En effet, soit b une racine de l'équation (i),

et x' une autre racine quelconque de la même équation. Posons

Comme on a, par hvpothèi-

c est donc bien racine de l'équalion (2).

Réciproquement, soit c une racine de l'équation (2), le produit 6e sera une racine de [0 car, puisque

L'étude de l'équation {!) se ramène donc à celle de l'équation (2).

Les racines des équations binômes de la forme (2) jouissent de propriétés remarquables que nous allons établir, en nous servant de Ja forme tri go nom étriqué que nous leur avons donnée.

Dorénavant, nous désignerons par x^ la racine de l'équation

dont l'espression est :

APPENDICE

On obtiendra, comme nous lavons expliqué plus haut, les m raciaes de l'équation, c'est-â-diie les m racines, m'"'"^ de l'unité en donnaut, h k, m valeurs entières consécutives, par exemple les valeurs 0, 1, 2, ... (m— I). Les ta racines seroni, alors, désignées par la notation

)2. Théorème. — Les racines imuginaires de l'équation bin

sont, deux à detiœ, œnjtiguÉeK.

En effet, considérons les deu)

On eo conclut que !s^^^ est conjugué de x . Ainsi, œ^ et x^ et ^„;2, etc., sont conjugués. Il faut remarquer que, dans tous les ci

a est impair, c'est la seule racine réelle et toutes les autres sont

naires, conjuguées deux à deus.

n est pair, il y a une autre racine réelle qui est

qu'on peut considérer comme conjuguée d'elle-même. Il y a donc, dans ce cas, deux racines réelles, + 1 et — 1, et m— 2 racines imaginaires, conjuguées deux à doux.

Exemples. — 1" L'équation

a trois racines :

.,= 1, ,,= cos- + .sm-=-- + ',.---,

293 LEÇONS tIE TliltiONOMÉTIIIE.

a quatre racines,

203. Théorème. — Le produit d« phisieiirs nicincs de l'égiutlion

est oîissi racine de cette Équation.

Soient, en effet, w^ , x^. , ... a;^ , avec nos notations iiabitaclles,

p racines clo l'équation dont les arguments sont

Zk^T. 2ii.^T. 2li^r.

m ' m ' ■ ■ ' m D'après le tliëorème du n° 1S7, le module du produit est 1 et Targimient

5(S,-l-S-,-|- ... -f fc^,)'

des arguments. Ce produit est donc égal à la racine iCj, >(, i , j, ■

Corollaire. — Toute ptiîssance entière et positive d'une racir,e de l'équation

est missi racine de cette Cqualir,n. Car, d'après m qui précède, on a