AB — A

Remarque II. — Les formules [1] et [2] donnent non seulement la forme de toute détermination de l'arc AB, mais sont encore telles que, réciproquement, elles fournissent quel que soii h, une do ces déterminations.

On peut encore énoncer ce résultat sous la forme suivante : la condition nécessaire et suffisante pour que deux arcs aijant même origine aient aussi même extrémité fit qu'Us diffèrent d'un multiple entier, positif, négatif ou nul de la mesure de la circonférence du cercle.

15. Congruences. — Les diverses déterminations d'un môme arc ne diffèrent entre elles, comme nous venons de le voir, que par des multiples entiers de la mesure de la circonférence.

Dans la suite, nous aurons, très souvent, h parler d'arcs de cette nature qui sont égaux à un multiple de la circonférence près. Pour abréger le langage et l'écriture, nous emploierons une notation simplifiée.

(I) L^a forniulea nuinérotécs on coractiifo ffiiis placés uiitru cmthels sont das formulca

90 LEÇONS DE TrtlGOKOMETBIE.

Nous dirons que deux arcs sont congrvs s'ils ne diflfèrent que par un multiple entier, positif, négatif ou nul, de la mesure de la circonférence ('). Pour écrire que deux ares sout congrus nous emploierons le signe ^, analogue au signe =;, mais avec une petite barre supplémentaire. Ainsi, acib étant deux arcs mesurés avec le rayon, pris pour unité, la congrucnce

signifie que

k étant un certain nombre entier, positif, négatif ou nul.

Les congruences jouissent de propriétés semblables h celles des égalités. Voici celles qui nous seront utiles,

1" Deux arcs congrus à im troisième sont congrus entre eux. Car si l'on a

ceci veut dire que on en couckit et, par suite,

puisque k el k' sont deux nombres entiers, positifs ou négatifs.

2° On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'ttiie congnience. Car lacongruencé

a ^ b {mo,l <■].

ma lea Zt^cons d'Ai-illnnêtiqm ilo M. Tonnerj, le n» 500), Dana la cas acliiel, iilîèrant quo par un multiple entier, paaitif ou négatif, de Si sont oongnis module !«; mais, comme, dans lo coups de cet ouvrage, ooua n'aurons janiai

, en sou8-8ntondaQl que celte oougiiience est rolatïvo ou module Su. Cud n< ucUDO ainbignïté.

signifie que

k étant un entier, positif, ou négatif. Ajoutons aux deux membres de cette dernière égalité un nombre quelconque c, il vient :

a^c = b+c+ 2fe,

3" On peut ajouter ou retrancher, membres à membres, plusieurs congrupnœs. Supposons, en effet, fjue l'on ait :

ceci veut dire que

a = />+ Uv, c=-d-\- Ik'-iz, e = f-{-W-K,

k, /t'. A" étant trois entiers, positifs ou négatifs. En ajoutant, membres à, membres, ces trois égalités, il vient :

Ce qui prouve que

«.j-c-he = & + </ + /■-

Remarque. — Dire qu'un arc est congru à 0, c'est, par délinitîon, dire que cet arc est un multiple entier, positif ou négatif, de Stc. Il résulte de ce qui précède que la congruence

fl — 6 =: 0.

16. Théorème. — J}eux arcs éc/aux et de signes contraires, gui onl même origine, ont leurs extrémités symétriques par rapport au diamètre qui passe par leur origine commune. Supposons, en effet, que deux mobiles partent ensemble d'un même point A d'un cercle orienté et

32 LEÇOKS DE TlilGOriOMmilt;.

se déplacent sur ce cercle de façon h êlre constamment symétriques par rapport au diamètre AA' qui passe en A (fig. 11). Les chemins que décriront ces deux mobiles seront évidemment égaux et de signes contraires, puisqu'ils se déplacent en sens contraires, l'un dans le sens de la flèche f, l'autre dans le sens/*.

Donc, lorsque l'un aura décrit un ceriain arc a et sera parvenu en H, l'aulre aura décrit l'arc ( — a) et sera parvenu au point M', symétrique de H par rapport à AA' puisque les deux mobiles sont toujours symétriques.

Fin. 1 1 , Kéc/proquemenl, lorsque devx arcs,

(lui ont même origine, ont leurs extrémités symétriques, par rapport au diamètre qui passe par leur origine commune, l'un de ces deux arcs est congru à Vautre changé de signe.

Soient les deux arcs AM et AM' tels que M et M' soient symétriques par rapport au diamètre AA' {fia. li). Si un mobile, en parlant de A, décrit l'arc — AM, il parviendra, comme nous venons de le voir, en M'. I.es deux arcs — AM et AM' ayant même origine et même extrémité, sont donc coii^^rus (n" 14),