CHAPITRE l'RliMlEH ARCS ET ANGLES

10, Mesure d'uu arc de cercle. — Mesurer un arc de cercle, c'est le comparer à un autre arc du même cercle que l'on prend pour unité. Le nombre qui mesure un ave dépend donc de l'unilé d'arc ehoisie(').

On emploie, eu trigonométrie, deux unités d'arcs différentes, ce qui donne lieu à deux systèmes de mesures.

1° Dans le premier système, on prend pour unité d'arc te degré, c'est-à-dire la 360' partie du cercle auquel appartient l'arc qu'il s'agit de mesurer.

Le degré est, lui-même, partagé en 60 mmutes; et la minute en 60 secondes. Pour désigner, par exemple, un arc de 48 degrés, ;îl minutes, 23 secondes, on écrit :

Ce mode de mesure est surtout employé dans les applications pratiques de la trigonométrie.

2° Dans le second système, l'unité choisie est l'arc dont la longueur est égale au rayon du cercle. Ceci revient à dire qu'on mesure "l'arc comme une longueur ordinaire, en prenantle rayon du cercle pour unité de longueur.

(I) Voir ilails les leçons i/eyéomi^lrie de M. IlaJsumrd. ie n" 7Ï.

U LEÇONS LIE TlIlGO^OMETIIiE.

Ce second mode est surtout employé dans les quostions théoriques (').

Remarque. — Dans tout le Livre T, noas n'emploierons, pour mesurer les arcs, que le second mode de mesure. Pour éviter toute confusion, nous désignerons un arc par une letlre majuscule lorsqu'il sera mesuré en degrés, et par une petite lettre lorsqu'il sera mesuré avec le rayon pris pour unité.

11, Problème. — Connaissanl la mesure d'un arc de cercle dans un système, calculer cette mesure dans Caulre système.

Rappelons, d'abord, la proposition suivante, démontrée en arithmétique (^) : Le rapport des mesures de deux grandeurs est indépendant de l'unité choisie.

Ceci posé, considérons un arc dont la mesure est A, en degrés, et n, en prenant le rayon du cercle comm.e unité. D'autre part, nne demicirconférence a pour mesure 180, en degrés, et ■k, en prenant comme unité le rayon ; x désignant, comme de coutume, le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Le rapport des mesures de

l'arc considéré et d'une demi-circonférence est donc rr--, en degrés,

et -, dans le second système. Ces rapports étant égaux, d'après la proposition rappelée plus haut, on a :

Cette égahté donne la solution du prohlème proposé; caj', en résolvant par rapport a A, on a .\ connaissant a

En résolvant pïir rapport à ", on a '( connaissant A

TBoida aveif imagiui

é un

«ysi

ëme di

:masi

ired

os arc^

, qui était le suivan

élBlt

La 400° partis de li

Dour.

a malt

î„flrf,

■mil (oa quart de circouféi

-)avall

;ponr

, On écrivait, alors,

a grades et tractions

déoi

maie

rades.

Ce

Ej-«t6m

e avait le grand av,

er la [t>esnre des «r,

::s As

ysiinK

)dé<

iimal e

t. par conséquent, il

Ls dangleg. Maigri i

snde

Odile.

■a pas

survécu et on = coi

Voir dans Ica Leçons

d'Ar

■ilAm

énq„e

dai«.

inerj, t

e chapitre ï, 51.

AUCS ET A-^GLES. 15

Remahque I. — Les formiiles précéde&tes supposent que A désigne la mesure de l'arc en degrés et fractions décimales de degrés. Lorsqu'on aura calculé A par la formule (2), il faudra transformer les fractions décimales de degrés en minutes et secondes. Ponr cela, ou muUiplie les fractions décimales de degrés par 60 et on a des minutes et fractions décimales de minutes. Puis, on multiplie les fractions décimales de minutes par 60 et on les transforme en secondes et fractions décimales de secondes.

Lorsque, pour calculer a par la formule (3), l'arc aura été donné eu degrés, minutes el secondes, on pourra mettre cette formule sous une forme plus commode. Supposons que l'arc soit

].)'> M' S", on aura, évidemiueul,

^ lin ' aiinir

et la formule (3) s'écrit

W " = î5o[" + 6"+SSiii}

Remauque II. — Pour l'application pratique des formules de transformation précédentes, il sera bon de connaître les valeurs

de 7[ et -. Les voici, avec dix.-sept décimales exactes, ^ = 3,141o92'i5358979323, - ^ 0, 81 830tl886i 8379067.

Dans les calculs pratiques, il wuflil, ou général, de prendre les valeurs approchées

^^3,i4ir> cl i = 0,3183.

Exemple I. — Calculer la mesure, en degrés, de l'arc de cercle donl ta longueur est Égale au rayon.

loi, on a n ^ 1 ; la formule (2) donne donc :

A = 1 80 X r — S7*,29o8 {par es:cês).

LETO^S DE TlilGOfiOMÉTlUE.

Iran s formant les fractions décimales de degrés i

Exemple II. — Calculer la louQueur de l'm-c '.le 10", le rayon du cercle Hant pris pour tmilé.

On a, ici, A = ——^{deyréa); la. formule (3) donne donc ;

avec Ireizo chiffres décimanx oxacls.

12. Arcs dirigés. — Définitions. — On dit qu'un cercle est orienté dès qu'on a défini, sur la circonférence de ce cercle, un sens de parcours appelé sens positif; le sens conlraire au sens posilif se nomme sens négatif. Un cercle orienté est donc analogue à un axe.

Pour préciser le sens positif, on peut s'y prendre de la façon suivante : soient OA et OB {fig. 9) deux rayons rectangulaires du cercle ; le sens posilif est parfaitement défini lorsque l'on dit que c'est le sens dans lequel se déplace un mobile qui va de A en B en décrivant un (/uadraitt {quart de circonférence). On prend, en général, en trigonométrie, comme sens positif, le sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre; mais ce choix. n"a rien d'obligatoire et souvent il est utile de faire autrement. Il arrive même, quelquefois, qu'il est utile de prendre, sur un même cercle, deux sens positifs différents pour deux catégories d'arcs distinctes.

13, En géométrie, on appelle arc de cercle i'"- '*■ l'une des deux portions de ce cercle limitée

par deux points de sa circonférence. En trigonométrie, on se sert d'une notion plus générale de l'arc, où intervient, non seulement la longueur de l'arc, maïs encore le sens dans lequel il est parcouru. C'est une notion analogue à celle des segments.

Étant donnés deux points A et B, sur un cercle orienté, nous appellerons mesure de l'arc dirigé AB, ou, simplement, mesure de Parc AB, la mesure de l'un des chemins décrits, sitr la circonférence du cercle, par un mobile qui. parlant de A, est allé jusqu'en B ; ce nombre

ABCS ET ANGLES. n

étant précédé du signe (+) ou du signe ( — ) suivant que le mobile s'est déplacé dans le sens positif ou dans le sens négatif. — Le point A, point de départ du mobile, est l'origine de l'arc; le point B, point d'arrivée du mobile, est Yexirémité de l'arc.

Pour énoncer un arc AB, on énonce d'abord l'origine et, ensuite, l'extrémité. On écrit AB, en surmontant les deux lettres qui désignent l'arc du signe r^, pour écrire la mesure de l'arc d'origine A et d'extrémité B.

Il faut remarquer, de suite, que, tandis qu'un segment, porté par un axe, n'a qu'w«e mesure algébrique, un arc, porté par un cercle orienté, a une infinité de déterminations. En efl'et, dans la définition précédente, le mobile qui se déplace de A on B, sur ie cercle, peut, d'abord, aller soit dans le sens positif, soit dans le sens négatif. De plus, le chemin décrit peut être plus grand que la circonférence totale du cercle, carie mobile peut, avant de s'arrêter en B, y passer plusieurs fois et ainsi faire une ou plusieurs fois le tour complet du cercle. Ceci se précisera, d'ailleurs, dans la démonstration du théorème qui suit,

La notation AB désigne, alors, Vune des déterminations de l'arc dirigé AB.

14. Théorème. — Les diverses déterminations d'un même arc ne diffèi-ent entre elles que par des multiples entiers^ positifs, négatifs ou nuls, de la mesure de la circonférence du cercle.

Soient, en effet {fig. 10), deux points A et B de la circonférence d'un cercle orienté. Cherchons à évaluer toutes les déterminations de l'arc AB.

Supposons, d'abord, qu'un mobile, en partant de A, se déplace dans le sens positif (sens de la flèche). Lorsqu'il rencontrera, pour la première fois, le point B, it aura décrit un arc géométrique ÂMB dont la mesure est «;par suite, il aura décrit un arc dirigé dont la mesure est + a. C'est une "

première détermination de AB. Si, quand

le mobile est parvenu une première fois en B, on imagine qu'il poursuive sa roule dans le sens positif, il reviendra une seconde fois au point B après avoir fait un tour complet sur le cercle. Il aura donc décrit un chemin géométrique total égal à a + 2îr (en prenant

le rayon pour unité); et un arc AB égal à + « + 2ii. De même, si.

LeçoïJS de TRlGOMOMftïKIB. 3

après avoir passé une première fois en B, le mobile fait deux fois le tour (le la circonférence, il aura décrit une troisième détermination de l'arc aB égale à + a -|- 4ir. D'une manière générale, si, après le premier passage en B, le mobile fait ;) fois le tour de la circonférence, dans le sens positif,, il aura décrit une détermination de l'arc AB égale h -\- a ~\- ipiz. Il résulte de là que toutes les déterminations

positives de l'arc AB sont de la forme

p étant un entier, positif ou nul.

Supposons, maintenant, que le mobile, en partant de A, se déplace dans le sens négatif (contraire k la flèche, fig. '10). Lorsqu'il atteindra, pour la première fois, le point B, il aura décrit un certain arc géométrique ANB et cet arc a, manifestement, pour mesure 2n — a, puisqu'il est égal à l'excès de la circonférence tout entière sur l'arc AMB. La détermination de l'arc dirigé AB, décrite, est donc — (2îr — a) oa a — 2%, puisque le mobile va dans le sens négatif. Après avoir passé une première fois au point B, le mobile pourra encore y revenir un nombre infini de fois, en faisant une ou plusieurs fois le tour de la circonférence dans le sens négatif. Si, par exemple, il a fait g tom's, il aura décrit, en tout, une détermination de l'arc AB égale à a — 2-k — 2qit ou a — 2 {q -^ 'l)i^. Toutes les déterminations négatives de l'arc AB sont donc de la forme

q étant un nombre entier positif ou nul.

Les deux expressions (1) el (2) peuvent se réunir en une seule et on voit, en résumé, que, a désignant la plus petite détermination positive de l'arc AB, toutes les autres sont de la forme

(3) a + ï fa,

oti k désigne un nombre faWet^ positif, négatif ou nul.

Le théorème énoncé découle, immédiatement, de là. Soient, en effet, a et a' deux déterminations quelconques de l'arc AB ; on aura :

a = û + 2/cii,

yGoosle

AUCS ET ANGLES. 10

k et /;' étatiL deux certains nombres entiers, positifs, négatifs ou nuls. En retranchant ces deux égalités, membre à membre, il vient

k — W étant un nombre entier, positif, négatif ou mil ; cette égalité prouve bien que a. et «' ne difl'èrenl que par un multiple entier, positif, négatif ou nui, de 2^,

Remarque I. — II résulte de ce qui précède que, si a est l'une quelconque des déterminations de l'arc AB, toutes les autres sont données par l'égalité

fl] AB = a + 2/(7(,

Où h désigne un nombre entier, positif, négatif ou nul (').

Cette formule suppose que l'on prend le rayon comme unité d'arc. Si l'on prend le degré pour unité, la mesure de la circonférence est 360 et il faut remplacer, dans ce qui précède, 2^ par 360. A désignant, alors, l'une quelconque des déterminations de l'arc Alî, on a, pour lotîtes les autres,