AM' = AM + TT

On peut encore dire que ces deux arcs diffèrent d'un multiple impair de demi-circonférences.

^i LEÇONS UK TlilGOJIOMÉTUIE.

19 Résumé. — Les propositions qui font l'objet des trois numéros précédents sont très utiles et il est bonde leur accorder une mention toute spéciale. Nous les résumons dans les trois égalité suivantes :

[3j AM ^i. — - A.M, M et JI' symétriques par rapport à AA' ;

[41 AM' = Tt — AM, M et M' sue me parallèle à AA';

[5] AM' ^ ^ -f" AM, M et m' diamélrahmenl opposés.

20. Addition. ~- Théorème. — Étant donnés plusieurs points A, B, C, D, E sur ii» cercle orienti^, on a, entre tes mesures des arcs déterminés par ces points, la relation

r^ (T^ r~^ r~-i /-~-i [6] AB + BG + CD + DE + EA — U.

Celte proposition résulte, presque immédiatement, de la remarque suivante : si un mobile, en partant d'un point A sur un cercle, se déplace toujours dans le même sens et revient au point de départ A, la somme des chemins qu'il aura parcourus sera évidemment égale h un nombre entier de circonférences et, par suite, sera congrue à zéro.

Ceci posé, considérons un mobile

partant du point A et se déplaçant dans

le sens positif sur le cercle; il atteindra,

F,o. 13. à un certain moment le point B{/ï(?. 13),

et soit a Tare positif ainsi décrit, a sera

la plus petite détermination positive de l'arc AB, et on aura pour

lout autre détermination :

Le mobile ayant atteintB, obligeons-le à poursuivre sa route dans le sens positif si soit b l'arc qu'il aura décrit en arrivant en C. f> sera la plus petite détermination positive de l'arc BC et on aura :

El ainsi de suite; faisons toujours tourner le mobile dans le sens positif en passant par D, E et revenant au point A. Il aura ainsi

AdCS ET ANGLES. 55

décrit les plus petites déterminations positives c, d, e des arcs CD, DE, EA, et on aura :

CD = c,

DE =: rf,

Mais, d'après notre remarque préliminaire, le mobile ayani toujours marché dans le sens positif et étant rôïcnu au point A, la somme

des chemins parcourus est congrue à zéro.

D'autre part, en ajoutant les congruences précédentes membres ;i membres, on a:

Cas de deux points. — Appliquons le théorème précédent au c particulier de deux points A et B. On aura :

ce qui donne :