ARCS ET ANGLES. Î

peut tourner dans deux sens différents, il peut encore Taire plusieurs tours autour de o avant de s'arrêter sur oij.

22. L'élude des angles se ramène à celle des arcs de la façon suivante. On sait, en géométrie, qu'un angle au centre a même mesure que l'arc (géométrique) compris entre ses côtés pourvu qu'on prenne, comme unité d'angle, l'angle au centre qui comprend entre ses côtés l'unité d'arc('). Considérons, alors, l'angle de ox avec oy (fig. 14) et décrivons, du sommet o de l'angle comme centre, un cercle que nous orienterons dans le même sens f que le plan. Ce cercle coupera les eûtes ox et oy, respectivement, en A. et B et il

est manifeste que l'angle ox, oy aura même mesure qufi l'arc

dirigé AB. En effet, tandis que ox tourne autour de o, le point A se déplace sur le cercle et lorsque ox coïncide avec oy, A coïncide avec le point B; le chemin décrit par A mesure donc l'angle décrit par ox. D'ailleurs, comme les sens positifs sont les mêmes sur le cercle et dans le plan, les deux mesures, celle de l'arc et celle de l'angle, auront les mêmes signes.

Il résulte de lÈi que tout ce que nous avons établi pour les mesures des arcs s'applique, sans modifications, aux angles. Nous nous contenterons d'énoncer les divers résultats.

Théorème. — Les divei'ses déterminations d'un angle ne diffèrent entre elles que par des multiples entiers, positifs, négatifs ou nuls, de 2jc 011 de 360, suivant l'unité de mesure choisie.

Ainsi, si « est l'une des déterminations de l'angle de ox avec oy, mesuré avec l'angle qui correspond à. l'arc égal au rayon, pris pour unité, toutes les autres sont données par la formule

Si, au contraire, l'unité d'angle est le degré, on a :

ril] ox,oy = A + km),

A étant la mesure de l'angle « en degrés, k désigne, dans ces deux formules, un nombre entier, positif ou négatif.

En employant le langage et l'écriture abrégés, on dira que deux

l.E(;0?JS DE TllICO.NOHÉTIilE.

déterminations de l'angle ox, oy sont co»o'nies; et on éci égalilésprécëdeiiles sous les formes :

23. Théorème. — ox, uy, oz, ol, étanl plusieurs demi-droiles iisites d'un niême point o, datis un plan orienté, on a, entre les angles qiCelles forment, la relation

[12] ox, oy -j- oy, oz + oz, o£ + ot, ox ^ 0.

Dans le cas particulier de dettx droites on a :

ox,oy -\-oy,ox:=^0, ce qui donne :

[13] oy,ox = -'Ox,oy.

Les deux angles oy, ox et, ox, oy sont congrus et de sir/nes contraires. Pour trois droites on a :

ox,oy -\- 0)/,oz -\- oz, ox ^ 0,

d'où on conclut

[14] ox,oy:s: oz,oy — oz, ox;

relation qui permet de calculer l'angle de deux directions, connaissant les angles qu'elles font avec une troisième direction origine oz. Corollaire. — Étant données plusieurs demi-droites ox, oy, oz, ol,

[15] ox, ot s; 0^, oy -j- oy, oz -\- oz, ol.

EXERCICES

1. Évaluer en degrés, minutes et secondes les arcs dont les longiieui-s soni : 22 y/â + v''3 .■rL~, ?.^f'

le rayon du cercle i^iant pris pour iiniié.

UÉPrMTlONS DES LIGNES ÏI(IGO>OM ÉTHIQUES.