MULTIPLICATION ET DIVISION

CIIAPlïlfR Vil MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS

82. Énoncé du i>roblcme. ~ Lu problème général ilc la niuUiplicalion ou de la division des arcs est le sulYant ;

Connaissant les lignes Irir/onomélrigiies d'un arc a, calculer, en

a fonction de ces lignes, tes lignes irigonomclrif/ues des arcs na ou - .

Nous nous contenterons évidemment de traiter ces questions pour les trois lignes fondamentales, le cosinus, le sinus et la tangente,

83. Mnltiplication des arcs. — Duplication. — Pour avoir les formules qui donnent les lignes tri gonomé triques de l'arc 2n, il suffit de faire dans les formules [38], [39] et [40] b = a; car, alors, a -{- b devient « -j- « .^ %(.

On obtient ainsi :

[41] cos 2a = cos^ a ■ — siu^ a,

1421 sin2a =2sinncosa,

[43] ls2a= ^

"1— tg^«'

On peut observer, qu'en tenant compte de la relation

cos^a + sin^a = 1,

cos2« peut s'exprimer rationnellement soit en fonction decosû seulement, soit en fonction de sin a. La formule [41] donne, en effet,

cos la ^2 cos ^ a — 1 , ou cos 2a = 1 — 2sin- c.

84. Cas général. — Il est facile, ayant calculé les Ugues de Tare 2n, de calculer, de proche en proche, celles des arcs 3(«, 4«, etc. En effet, si l'on considère 3« comme la somme 2« + a, on aura :

cos 3a = ces 2a cos a — sin2ffl sin a, sin 3a ^ sin 2a cos a + sin a cos 2a,

Leçons ee Trigonométhik. 6

8a LEÇONS DE TlllGONOMETUlE.

En remplaçant, daus ces égalités, cosSa, sin2a et tg2« par leurs valeurs [41j, [42] et [43], il vient, toutes simplifications faites,

(1) cos3n = cos'a — 3cosa siii^«,

(2) sin3a = Ssinacos^o — sin'a,

on aurau pu, d'ailleurs, obtenir encore ces formules en faisant dans celles du n" 78, qui donnent les lignes de l'arc a -{- I) -{- c,

En tenant compte des égalités

sin^n =1 — cos^ a, on pent écrire aussi :

(/i) cos3ft = 4cos^fl — 3c;os«,

(5j sin3ff ^ 3sina — 4sin^«.

Connaissant les lignes tri gonomé triques de l'arc 3«, on calculera, de même, celles de l'arc 4a en considérant 4a comme la somme Sa -\- a et en remplaçant dans le second membre cos3fl, sin3<ï, tgSapar leurs valeurs (1), ('2), (3). Et ainsi de suite.

Pour avoir des formules générales donnant cosmn, sinmn, Igmi», il suffirait, dans les formules [a], [p] et [y], du n" 79, de faire les m arcs a, b, c ... k, l égaus et égaux à a (voir le chapilre u de l'Appendice).

85. Division des arcs. — Ëlémcntairement, onne peut résoudre le problème de la division d'un arc que dans les cas où le diviseur « est une puissance de 2. Ce sont, en effet, les seuls cas qui conduisent à, résoudre des équations dont le degré ne dépasse pas le second. Nous ne traiterons donc, ici, que ces cas-là, mais nous indiquerons cependant la mai'che générale h suivre (').

Supposons qu'on se donne une ligne frigonomé trique, par

exemple cosa, et qu'on veuille calculer les lignes de lare-. Pour cela, on écrira la formule qui donne cos na en fonction de cos a et sina. Dans cette formule on remplacera a par- et on obtiendra une

MUI/rlPUCATIOX ET DIVISION l>ES ARCS. 8S

relation entre cosa, cos - et sin -. Eu adjoigiianl ii cette relation l'égalité

cofi^- + siii^- = 1,

DU aura deux équations pour déterminer les deux inconnues

Si on se donnait tgo, on remplaçant, dans la formule qui donne Igna en fonction de tg«, a par-, on aurait, de suite, une équation

donnant tg-.

Appliquons ces généralités au cas de n ^^ 2.

86. Problème. — Connaissant cos a calculer les lignes Irigonomé-

Iriques de l'arc-.

On a, d'après la formule [41],

cos 2(1 ^^ cos^ii — sin^ ((.

Remplaçons, dans cetle égalité, a par -et nons avons

(1) c„..2-,i„V°=c.sa qui, avec la relation

(2) cos^^ + sin^^=1,

fournit un système de deux équations à deux inconnues cos ; et

sin-. En ajoutant et retranchant, membre àmembre, les équations ('1) et (2), on en tire d'abord les égalités importantes :

[44] 2cos^- = 1 -\- cosfl,

[45] 2 sin^ s — 1 — cos a.

li LEÇONS DE TlilGONOMETUlE.

Ces relations donnent, enfin,

a , . /l + cos a 2 ^V 2

.gi=±v/r

qui, divisées membre à membre, donnent

Les fopmuies (3) et (4) résolvent la question.

Chacune de ces égalités fournit deux valeurs pour cliacune des trois lignes trigonomé triques. C'est là un résultat facile à expliquer et cette explication peut se donner sous deux formes diÊférentes.

Ce qu'on se donne, en effet, ce n'est pas l'arc a, mais son cosinus. Le problème résolu est donc le suivant, trouver les lignes trigonométriques des moitiés de ions les arcs qui admettent un cosinus donné.

1° On sait que, si a désigne lun des arcs dont le cosinus est égal à cos a, tous les arcs «, admettant ce cosinus, sont compris (n" 46) dans la formule [23]

où ft est un entier, positif, négatif ou nul. Les moiliés de tous ces arcs sont donc données par la formule :

Si k est pair, on a :

cos I k-K

multji>lu;,vtio;n et division dks arcs.

Si k BSiimpair, un a :

cos f /îTt rt -| = — cos ,

On en conclut que les sinus, cosinus et tangentes des arcs considérés ont, chacun, respectivement, deux valeurs égales et de signes

contraires =t sin -, d=: cos -, ± tg ^. C'est ce que nous donnent les

formides (3) et (4).

2° On peut encore raisonner de la façon suivante.

Faisons d'abord une remarque qui nous sera utile dans la suite. Soient A et M {/ig. 34) deux points du cercle trigonomélrique. Soit N le milieu de l'arc géométrique A.M, décrit par un mobile allant deÂenM dans le sens positif ;Ni le point diamétralement opposé &,N.

^^ Les moitiés des diverses déterminations de l'arc AM sont les diverses

déterminations des ares AN et AN,. Soit, en effet, a le plus petit arc positif AM, de la façon même dont nous avons choisi le point N, l'arc -, qui a son origine en A, est terminé en N. Toutes les déterminations de l'arc AM s'obtiennent en ajoutant à « un multiple entier (positif ou négatif) de circonférences. Les moitiés de toutes ces

déterminations s'obtiennent donc en ajoutant ïi - un multiple entier (positif ou négatif) de rfemi-circonférences. Si ce multiple est pair, l'arc correspondant sera congru à - et sera terminé en N. Si ce multiple est impair, l'arc sera congru à - -|- ^ et sera terminé en N,

Ceci posé, soit x'x [fig. 34) l'axe des cosinus des arcs d'origine A, Prenons, sur cet axe, le segment OP égal à cos«. Tous les arcs a

86 LEÇOiNS DE TRIGOSOMKTHIE.

sont terminés aux points M et M' situés sur la perpendiculaire en P

hxx'. Les arcs -sont donc, d'après la remarque précédenle, terminés

en N ou N,, N' ou Nj, N étant le milieu de l'arc géométrique AM et N', le milieu de l'arc AM'. Or, N et N', étant symétriques par rapport k xx', la figure NN' N,N'i est un rectangle dont les ciïtés sont parallèles aux axes x'x et y'y. 11 en résulte que les arcs terminés aux

quatre sommets de ce rectangle n'ont que deux valeurs (égales et de signes contraires) pour leurs cosinus OH et OH' ; deux valeurs pour les sinus, OQ et OQ' ; deux valeurs pour les tangentes AT et AT'. Remarque. — Si, en même temps qu'on se donne le cosinus, on se donne aussi l'arc, l'ambiguïté du signe disparaît. Car dès qu'on connaît l'arc, on sait (voir le tableau du n° 41) quel est son signe suivant le quadrant où il se termine,

Exemple.

- Calculer les (ignex Irigonomélriqnes de C<irc ^ sachani que

Mll/riPlJCATION Eï DIVISION DES ARCS. 87

I/ïii-c^ i^laiit tcniiiiié dans le premier qiiadrnnl, toutes ses linni^s sont

positives; il faudra donc dans les formules (3) et (4) prendre le signe (-^). En applicjiiaiit ces formides, on a :

^vf^.-.

87. Problème. — Ccikidci- lus Hipias iyi'jonù>aéU-kj\i<'A de l'arc -

connaissant sin a.

D'après la formula ;"421, on a ;

sin •>« -■- 2 sin a cos a.

Remplaçons, dans ce tle égalité, « par - et il vient (i) 2 sin - cos : =: sin a,

qui, avec la rolation

fournit un système de deux équations à deu>iin(:onniies sin - et cos -.

V < + fi V (, + vi)(.-vS) V ■' v's

(, + fi) (,-/,] = ,-U'-ir = ■:-, = . ..

8S LKÇIJNS DK ï«lGO«OMÉTlilE.

Pour résoudre ce système, ajoutons et retranclions l'égalité (1) de l'égalité (2), nous avons

sin* - + cos^ - + 2 sin - cos - ~ 1 -|- s

Ceci s'écrit :

sin :; -]- coïi - = i + sin /(,

Désignons par e une quantité égale à. + 1 ou à — 1 , de même par ' une quantité égale aussi à ± 1 , les égalités précédentes donnent ;

sin - — cos - =: s' ^/l — sin a.

Do ces deux relations on tire, alors,

^ sin î = 1 [. v'I+sîn» + .' i/l-siiT7i],

Comme on peut prendre pour s et s', à volonté, -\- l ou — 1, l'on voit que sin - et cos ,t ont chacun quatre valeurs. Ces quatre valeurs se correspondent, car dès qu'on a choisi une combinaison de signes pour sin z, celte qu'il faut prendre pour cos - est parfaitement déterminée. On peut remarquer que les quatre valeurs du sinus sont les mômes que les quatre valeurs du cosinus, mais ce ne sont pas les valeurs égales qui se correspondent. Ainsi, si l'on prend :

yGoosle

MULTIPLICATION Kl niVISIO.\ DES ARCS.

>|='[vT+^

cos I = - yi + sin a + /l — sin « 1 ■ En divisant les formules (3), membre àmeiiibi'e, on a Lg-

(4) „;.s/l + -i.,. + .Vl-

2 S v/| -(- sin (ï — e' \/i — sin a

Il semble, au premier abord, qu'ii y a aussi quatre valeurs pour tg - , mais il est facile de se convaincre qu'il n'y en a en réalité que

deux. Multiplions, en effet, les deux termes do la fraction (4) par s et remarquons que

nous aurons :

a y/ï + sin a + ;s' /l — sin a ^^~^[ +sin« - seVl-siu«"

On voit bien, ainsi, qu'il n'y a que deux valeurs, car sï' est égal ; + 1 ou — 1. Ces deux valeurs sont

y/l + sin a + yl - sin a ^^ ^\ + ^mj - ^i-^m^ ■/i + sin a — \/l — sin a v-Tl^sin *' + \/l — sin a '

elles sont inverses l'une de l'autre.

Les résultats précédents sont faciles à expliquer.

Ce qu'on connaît, en effet, ce n'est pas l'arc «, mais son sinus. Les formules (3) el (4) fournissent donc les lignes trigonomé triques des moitiés de tous les arcs dont le sinus est égal k sin a.

i- Soit «. un arc dont le sinus est égal à sin a. Tous les arcsi^r, qui admettent ce sinus, sont donnés par les formules [24]

Leurs moitiés sont donc données par :

&0 LbïM.NS UK THIGOMOMETItlK.

Si k est pair, on a :

oos (/« + ;) == co,:, cos (fa + î-:) = ™;.

sin(fa + •) == ,i„ î , sin (fa + I - 5) = »»» ^

i6(fa + --)= tgï, ig(fa + ;:)=c„tgî.

Si A ost impair,

cos (fc + ^) r^ - cos I , cos (fa + ^ — ,2) = - sin I ,

Bi„ (fa + g ^ - si,, ? , si,, (/» + I - I) = - -. es ^ ,

tg(fa + î)= igî, ts(fa + ^-.j)= colgî.

On voil bien, sur ces égalités, que les divers arcs ^ ont quatre valeurs pour le sinus ou lo cosinus qui sont :

et seulement deux valeurs pour la tangente, inverses l'une de l'autre,

tg ^ et cotg - = — .

■2" Donnons encore une explication géométrique. l'ortons sur l'axe y'y des sinus des arcs d'origine A {fig. 35) un segment OQ égal à sin a. Tous les ares d'origine A, qui ont ÔQ pour sinus, sont terminés en l'un des deux points M ou M' situés sur la perpendiculaire en Q à y'y. Soit N le milieu de l'arc géométrique AM et N' le milieu de l'arc AMM' [fig. 35), tous les arcs terminés en M ou M' ont des moitiés terminées, d'après une remarque faite plus haut, en l'un des qiiatre points N, N', N, ou N/ (N^ et N/ étant diamétralement opposés à N et N').La ligure NN'N,N,' est un rectangle, mais dont les