CONSTRUCTION DUNE TABLE

De ces deux dernières formules on déduit, enfin, les suivaiilûs :

Sin(m + l;10" — Sinm 10" = sin ?)ilO" — sin {m — l) 10"

— ksinmiO",

(ios{m + 1)10" — cosmlO" = cosmlO" — cos{m -1)10"

— tcosmlO",

qui sont les formules dites <■ de Thomas Simpson ».

Faisons, d'abord, dans ces formules, m := 1 et nous avons :

( sin 20'' — sin 10" = sin 10'' — A sin 10",

( COS20" — coslO"=coslO" — 1 — ^-coslO'',

qui doiineni sin 20" etcos.20" connaissant coslO" et sin 10" que nous avons calculés plus haut (n° 103).

Faisant, ensuite, m = 2, nous obtenons :

l sin 30" — sin 20" = (sin 20" — sinlO") — /.• sin 20", f cos30" — cos20" = (cos50" — cosIO"i — Acos20"

qui donnent eos30" et sin 30'. Cette formule, comme on voit, donne les différences cos 30" — cos 20'' et sin 30" — sin 20" connaissant les différences cos 20" — cos 10" et siu20" — sin 10" calculées plus haut.

D'une façon générale, les formules de Simpson donnent les différences sin [m + 1)10" — sin mlO" et cos (m + 1)10" — cosmlO" des lignes de deux arcs consécutifs, connaissant les différences précédentes. Le calcul de chaque nouvelle différence n'exige qu'wwe multiplication par le facteur k.

105. Simplifications. — 11 est, d'abord, facile de se rendre compte qu'il suffît de calculer les cosinus et tes sinus des arcs de 0° à, 45° pour avoir les cosinus et les sinus des arcs de 0° à 90°.

En effet, si A est un arc compris entre 45° et 90°, son complément 90" — A est compris entre 0° et 43°. Or, on a :

cos A == sin [90° — A), sinA = cos(90° — A).

Donc, dès qu'on connaît les lignes de l'arc 90° — A, on connaît celles de A.

Il est même facile de se rendre compte qu'il suffit de calculer, par les formules de Simpson, les cosinus et sinus des arcs de 0° à 30° et qu'on peut trouver, pour les arcs de 30° à 45°, une formule plus simple.

50 I.1!;<;0.\S DE TltiGONOSiLTillE.

Les formules (i) cl (4) du ii" 91 donnent, en effet, sin'« + éj = 2sma cos^ — mi{a — t

cos(o

-•2sin

Taisons, dans ces formules

ao^

et remarquons que (n" 72)

jiiiyo"

elles devieiincnl :

sin(30- + A) :

cos(30-+ A):

= ces

siii(3U'

Ces relations donnent, par de simples soustractions, les cosinus et sinus des arcs 30° + A, plus grands que 30°, connaissant celles des arcs A et 30° — A plus petits que 30°.

106. Vérifications. — Dans l'emploi répété des formules de Simpson, les erreurs commises dans les calculs s'accumulent évidemment et, si on les appliquait sans inteiTuplion de 0° à 30°, les dernières valeurs calculées seraient beaucoup moins approchées que les premières. Il est donc bon de vérifier les calculs et de rectiiier les erreurs en calculant, de temps en temps, quelques lignes directement. Pour cela, on calcule directement les cosinus et sinus des arcs de 9° en 9°.

Ceci est facile; on a, en effet,

et, comme nous connaissons les lignes de l'arc de 18° (i sera facile de calculer celles de l'arc moitié. On a :

si„,8. = vSf:i,

on en conelut, en vertu des formules (3) du n^ 87,

sina-=ir</v'5'+3-\'5-V'5l.

cos 9- = j Fv' ^5"+ 3 + v'5 - \ S J .

CONSTRUCTION D'UNE TABLE. i^l

On a, d'aillcLi's (n" 72), cos 18° et sin 18°. Les formuliis d'addition donneront cos 27° et sin 27", etc.

S'il y avait lieii, on pourrait, en divisant encore par 2, une ou plusieurs fois, calculer directement les lignes d'arcs plus rapprochés.

On pourrait remarquer, d'ailleurs, que, puisqu'on a les lignes trigonométriques des ares de

les formules d'addition permettent de calculer, par de simples pxtrndionn de racines carrées, celles de