CONSTRUCTION D'UNE TABLE

104. Formiiles de Thomas Simpson. -- Les formules de Thomas Simpson sont des formules qui permettent, connaissant cos 10',' et sin 10", de calculer, de proche en proche, les cosinus et sinus des arcs de 10" en 10" : 10", 20", 30", etc. Voici comment on les établit :

Ecrivons les formules (1) et (3) du n" 91 ;

sin [a -\- h) -\- sin [a — li) ^ 2 sin a cos i, cos (n -|- />] + cos [a — 6) ^ 2 cos a cos l> ;

eL, dans ces formules, faisons

ft = ]0" fl^m. 10",

m désignant un entier positif. Elles deviennent :

(1 ) sin (m + 1) 10" + sin (m — 1) 10" = 2 sin m 10". cos 10", (2) cos(m + l)10"+cos(m— l)10" = 2cosj)ilO". coslO".

Remarquons que la quantité 2cosl0'' est très voisine de 2. Posons alors,

2 cos 10" ^2 — k;

k sera une quantité très pelile.

D'ailleurs, puisqu'on prend comme valeur approclice de cos 10" la quantité

on aura :

2 /; = 2 — (arc 10")= c'est-à-dire

è = (arc 10")^ = 0,00000 00023 Îi0/i43 053 (par défaut).

En remplaçant, dans (1) et (2), 2 cos 10" par 2 — A, on a :

sin (m + 1) 10" + sin (m — 1) 10" = 2 sin m 10" — k sin mlO", cos (m 4" 1)10" -|- cos(î« — 1) 10" ^ 2 cos m 10" — ■ /t cos ni 10".