existe deux sortes de laliles tri gonomé triques
l" Les tables qui donnent les valeurs elles-mêmes des lignes trigoiiométriques de 0° à 90°. Ces tables sont d'un usage peu fréquent en mathématiques; elles servent surtout aux physiciens, plus particulièrement dans les calculs cristallographiques.
Leur emploi ne demande aucune étude préliminaire.
2° Les tables logarithmiques qui donnent les logarithmes des lignes tri gonomé trique s des angles de 0" à 90°.
Ce sont celles qui sont le plus usitées en mathématiques; leur emploi, d'ailleurs, donne lieu à des calculs plus simples.
Nous ne nous occuperons, dans la suile, que de celte dernière catégorie de tables.
109. Disposition des tabiee lograritlimiques. — Il existe des tables donnant les logarithmes des lignes trigo no métriques avec un plus ou moins grand nombre de décimales exactes (en général 4, b ou 7); nous nous contenterons de décrire les tables à 7 décimales telles que celles de Callet, Dupuiset Schrôn.
Une telle table est à simple entrée et contient les logarithmes des cosinus, sinus, tangentes et cotangenles des angles de 0° à 90°, de 10 secondes en 10 secondes.
Une remarque, que nous avons déjà faite plus haut (n" 105), a permis, immédiatement, de diminuer de moitié la dimension d'une telle table. En eflfet, deux angles complémentaires ont, respectivement, pour sinus, cosinus, tangente et cotangente les cosinus, sinus, cotangente et tangente l'un de l'autre. Si, par exemple, dans une colonne, sont rangés, de haut en bas, les logarithmes des simis des angles de 21''40' à 21°B0', de 10" en 10", en lisant cette même colonne de bas en haut, on aura les logarithmes des cosinus des angles complémentaires, c'est-à-dire les logarithmes des cosinus des angles de eSMO' à 68» 20', de 10" et 10". D'après cela, il suffit de former la table pour les angles de 0° à ■45°, puis de la lire en sens inverse pour avoir les logarithmes des lignes des angles de 45" à. 90", à condition, bien entendu, d'intervertir les cosinus et sinus, les
DisPOsrno.N kt usagk des tables. isa
tangentes et cotangentes. Dans la recherche des logarithmes des lignes des angles de 0° h 45° on lit la table de linid en bas; pour les angles de 4S" à 90° on la lit de bas en haut.
Pour les recherches dans la table, nous distinguerons donc doux cas.
1° L'angle est plus petit que 45°. — SoîL, par exemple, à trouver dans la table
;ojcos{2l°42'30").
Pour cela, nous cherchons la page au haut de laquelle est inscrit 21°. Dans la première colonne de gauche nous cherchons le nombre 42 qui donne les minutes; puis, dans la seconde colonne de gauche, entre 42 et 43 de la première colonne, nous nous arrêtons au nombre 30 qui donne les secondes. Les logarithmes des lignes de l'angle de 21° 42' 30" se trouvent inscrits dans la ligne horizontale à laquelle nous sommes ainsi conduits. Ainsi /017 cos (21°42' 30") se trouve à l'intersection de cette ligne et de la colonne qui porte en kawt l'indication cos. ou co-sin.; on trouve :
Inrj COS (21°42' 30") ^ T, %8052o (').
'2" L'angle est plus grand que 45". — Soit à trouver dans [a table
log eotg(63'>15'20").
On cherche, dans la table, les pages aw bas desquelles sont inscrites 63"; puis, dans les premières colonnes à droite, en remontant, le nombre 13 des minutes. Entre 15 et Ifi, en remontant dans la seconde colonne de droite, on s'arrête à 20, nombre des secondes. La ligne horizontale à laquelle on parvient ainsi contient les logarithmes des lignes de l'angle de 63'"lb' 20". Par exemple, le log cotg se trouve à l'intersection de cette ligne horizontale et de la colonne au bas de laquelle est inscrit co-tavg. On trouve, dans le cas prcsent,
log cotg [63°1S'20") = 1,7023615.
Uj Danacetlaiiii
2S tabloB ani do 10. Ainsi
, dons La table de CaUet, on trouve
au Ueu d>:
9,9li805îS T,£IG90326.
ristique. En effet,
sont plus petiWa caractéristiques dt
mer lieu k i !3 log Ig SOI
sucuna araliiguïté ; car on sait d'ava isliquee des loj, ain et ioff coa sont 1 îlita que 1. Pour les targanies, conm carastéristiqiies des lou Ig sont né
\U LEÇONS UE TlllGO>0MliTU[E.
HO. — La lable contient, outre les colonnes dont nous avons parlé, trois petites colonnes intitulées di/f. qui donnent, toutes calculées, les différences successives entre les parties décimales de deux logarithmes consécutifs, différences qui nous seront utiles dans la suite.
Ainsi, par exemple, on trouve, dans la table,
log sin (34" 5' 20") = T, 748S389
el lorj sin (34" U' 30") = ï, 7483900 ,
La difTépence entre les parties décimales de ces deux logarithmes,
74859ÛÛ-748SS89 = 3]1,
se trouve inscrite, dans la colonne intitulée dlff". située à droite de la colonne sin, en face de l'intervalle qui sépare les deux logarithmes.
Pour les différences relatives aux logarithmes des tangentes et cotangentes, il suffit d'une seule colonne commune, en vertu de la remarque suivante :
La différence entre les logarithmes des tangentes de deux angles est égale, en valeur absolue, à la différence entre Jr-t logarithmes de leurs cotangentes.
Soient, en effet A et B deux angles, on a :
Par Huite,
lot) cotg A ^ — loff tg A, log colg B ^= — log (g B. on a donc :
log cotg A — tog cotg B — — Uog Ig A — log tg lil.
Les deux différences sont donc égales, en valeur absolue, mais de signes contraires.
En vertu de cette propriété, il suffit d'une seule colonne, intitulée diff. comm. et placée entre les colonnes des tangentes et des cotangentes, pour donner les différences des log tg. et log cotg. des angles consécutifs.
Enfln, certaines tables contiennent, en marge, des petites tables de parties proportionnelles dont l'usage sera donné plus loin.
DISPOSITION ET USAGE DES TABT.ES. lia
m. Usage des tables ('). — Les tables que nous venons de docrire nous permeltronb de résoudre les denx questions suivantes :
1° Étant donné un angle plus petit que 90°, trouver le loganihmi d'une ligne trigonométrique de cet angle;
2° Étant donné le logarithme d'une certaine ligne trigonomélrique d'un angle, compris entre 0° et 90°, trouver cet angle.
Ces deux problèmes présentent quelques différences suivant qu'il s'agit du sinus et de la tangente ou du cosinus et de la cotangente. Nous traiterons séparément les deux cas.
112. Problème I. — Calculer le logarit/ime du sinus ou de la tangente d'un angle donné.
Si l'angle donné contient un nombre de secondes qui est multiple de 10, le logarithme cherché se trouve immédiatement dans la table, comme nous t'avons expliqué plus haut, sans aucun calcul auxiliaire.
Supposons, maintenant, ce qui sera le cas général, que le nombre des secondes ne soit pas un multiple de 10. Soit, par exemple, à trouver
%sin(57MT44",81).
Comme le sinus croit lorsque l'angie croit de {)" à 90", il en résulte que
log sm (37" 17' 40")
est une valeur approchée par défaut du logarithme cherché. On trouve, dans la table (en la lisant de bas en haut, puisque l'angle est plus grand que 45°),
logaln (57= 17' 40") = I, 92S0326.
Pour obtenir le logarithme demandé, il faut augmenter la partie décimale de ce logarithme d'une certaine quantité que nous allons calculer par la méthode des parties proportionnelles.
On admet, ce gui est suffisamment exact, que l'accroissement du loggia, est proportionnel à Vaccroissement de l'angle, lorsque cet accroissement est très petit.
Gela étant, on lit, dans la colonne diff". (de bas en haut), que l'excès de log sin (57°17'50") sur log sin (b7''ir40"} est, pour la partie décimale, 136. La partie décimale du log sin augmentant
1Î6 LEL;0«S riR TRiGONOMliTlUE.
de 136 lorsque l'angle augmente de 10", elle croit, en verLu de l'hypothèse de la proportionnalité faite plus haut, de
4,8.| x^ = 4,81 Xl3,6=65,'il(î,
lorsque l'angle croîl de 4", 81. La partie décimale de
%sin(u7°lT44",8!) est donc :
car on néglige les chiffres au delà du septième. Cependant, si le huitième chiffre était plus grand que 5, on forcerait ,1e septième d'une unité.
Lorsque la table contient des tables de parties proportionnelles {p-p-), on trouve, dans ces petites tables, les produits, tout effectués, de 13,6 par les nombres de 1 à 9. Voici, dans ce cas, comment on dispose le calcul :
}joiir. . . . Ei7"ÎT40" 1,9250326 à= 136
pour. -.. 4" 54,4
2}ow: . . . 0",8 10,88
pour 0",01 0,136
logsin (S7M7'44",81) = 1,9250391.
La question se traiterait de la même façon s'il s'agissait d'une tangente, parce que la tangente d'un angle varie, comme le sinus, dans le même sens que l'angle.
KxEMPLE. — Culmkr
pour 28"43'30' T,73882[2 A = 499
pour 1" 349,3
pour 0",6 29,04
pour 0",04 1,996
iog tg (28° 43' 37", 64) :^ 1,1388093.
H3. Problème II. — Calculer le logarithme du cosinus ou de la cotangenle d'un angle donné.
Nous ferons, immédiatement, la remarque suivante : le cosinus et la cotangcnle d'un angle compris entre û" et 90" varient en sens
