RENDRE UNE FORMULE CALCULABLE PAR LOGARITHMES

117. Enoncô du problêoie. — Une formule qui fournit une quantité inconnue eu fonction, ûe plusieurs autres connues, est dite calculable par logarithmes, si on peut trouver directement le logarithme de la qnïntité inconnue, connaissant les logaritlimes des données, sans revenir, pour ces données, des logarithmes aux

Pour qu'une formule soit calculable par logarithmes, il faut et il suffit que les données ne soient reliées entre elles que par des signes opératoires autres que le signe {-\-) ou le signe ( — ). On a, en effet, immédiatement, d'après les propriétés connues des logarithmes ('), le logarithme d'un produit, d'un quotient, d'une puissance, d'un radical, connaissant les logarithmes des quantités qui y figurent; tandis que cela n'a pas lieu pour une somme ou pour une différence.

Comme les tables trigonoraétriques ne fournissent que les logarithmes des lignes trigonomé triques des angles et non les lignes elles-mêmes, il est intéressant que les formules soient toutes calculables par logarithmes, pour éviter d'avoir à faire le calcul des valeurs elles-mêmes des lignes, connaissant leurs logarithmes.

Pour nous rendre compte de l'importance de ce fait, prenons un

exemple.

Étant donnés deux angles A et B, supposons qu'on vftuille calculer l'angle X tel que

(1) 2sin.ï = sin A + sinB.

Si on se servait de la formule (1) il faudrait : 1° calculer loy sin A et log sin B. 2° Connaissant ces deux logarithmes, il faudrait, en se servant de la table de logarithmes ordinaire, calculer sin A et sinB. On aurait, alors,

sin A -j- sin B.

RliNURi; U:Mi FOdMULE CALCllLAliLli PAU I.OUAmïHMKS, 133

3° On calculerait

lo/f [sin A -|- sin B",

ce qui donnerait

loif sin X =: log [sin A + sin B] + colog 2.

4" Enfin, on calculerait l'angle x connaissant log sin x. On aurait donc six calculs logarithmiques à, faire, ce qui, non seulement serait long, mais encore risquerait fort d'accumuler les erreurs.

Au contraire, si, à l'aide des formules [50], on écrit la formule (1) sous la forme :

on évitera tous les retours des logaritlinies aux nombz-es et on n'aura que troi» calculs à faire ; à savoir : 1° les calculs de loi/ sin — - — -

et log cos — T — , ce qui donnera, par addition, togsinx.

2° Connaissant, io(/ sin x, on calculera x.

Lorsqu'une formule n'est pas calculable par logarithmes, rendre celle formule calculable par logarithmes, c'est la remplacer par une autre formule qui soit calculable par logarithmes'.

Ainsi, par exemple, on peut dire que la formule (2) est la formule (1) rendue calculable par logarithmes.

Les formulevS de transformations de sommes en produits du chapitre vin {0°* 91 à -97) résolvent immédiatement la question dans certains cas particuliers; mais les choses ne se passent pas toujours aussi simplement. Dans les cas généraux, il faudra, pour rendre une expression calculable par logarithmes, introduire un ou plusieurs angles auxiliaires dont les valeurs seront données par des formules logarithmiques.

lis. Transformation d'une somme. — Transformation de A -f B. — Soient A et H deux quantités positives dont on ne connaît que les logarithmes, il s'agit de calculer loif (A + B), sans calculer A et B.

A cet effet, écrivons, en mettant A en facteur,

134 LEÇONS DE TIIIGONOHETHIE.

el posons :

{■!) Lg>=-.

L'angle <f, ainsi dérini, sera facile à calculer, connaissant log X el log B, puisque

lo^ tg (f = - [loy B + co/oi/ A] .

Ayant calculé cp, on aura :

et. comme