tg^ <f = Y
' " • COS^ç-
L'expression A + B est ainsi rendue calculable par îogaritlimes et on a :
log (A + B) = ïoj A + 2 colog coscf,
Rbmarqur. — Il est facile de se rendre compte que l'emploi de l'angle auxiliaire f donne bien une simplification de calcul. En effet, on n'aura, ainsi, que deux calculs logarithmiques à faire, celui de f et celui de log cosç ; tandis que directement il aurait fallu faire trois calculs logarithmiques : ceux de A et B, connaissant log A et log B, et celui de log (A + B), connaissant A -j- B.
119. Transformation de A — B. — Soient A et B deux quantités positives, A étant plus grande que B, dont on ne connaît que les logarithmes, calculer log (A — B).
Écrivons, en mettant A en facteur,
A-- Brr^Ari — ?!.
angle <} lel que l'on ail :
IIENDRE «NE FORMULE CALCULABLE PAIt LOGARITHMES. IHô
Cet angle cp se calculera aisément, ne connaissant que iog k et oo B, car
Iog sin ^ = - I ioy f{ + cohg \ j .
Ayant calculé ^, on aura :
A — H=tA [1 — sin^oj et, par suite,
(2) A — B = Acos^9.
A — B est ainsi devenu calculable par logarithmes, car
loy (A — B) ;^ Iog A -|- '^ ^og cos ç.
120. Remarque. — On pourrait indiquer une méthode de transformation qui s'appliquerait, à la fois, aux deux cas A + B et A — B. lïcrivons, en effet,
A posons
ce qui est toujours possible puisque la tangente peut prendre toutes les valeurs possibles.
Ayant calculé * par cette formule,
iog tg ^ ^ hg B -f- coiog A, on aura :
AzhB = A[l dztgo] r^A[lg4o"± tg^j.
(J'après la formule [52], on a :
tg li'-i" ± tg ^ = y-- ii ,
cos 45° cos »
ce qui donne
cos 4-5" cos if
formiile calculable par logarithmes.
126 LEÇONS Di: TlilGONOSlÉTlilt;.
Celle transfornialiou, sauf dans des cas spéciaux oti l'angle f se présente dans d'autres calculs, est moins avantageuse que les deux précédentes, car elle exige un plus grand norabre de calculs logarithmiques.
Cependant, si on a, à (a fois, h. calculer lo<} (A -f B) et log (A — B), elle sera préférable, car le même angle auxiliaire o servira dans les deux cas,
121. Cas général. ■ — IL nous sera facile, maintenant, de transformer une somme quelconque. Soit à calculer (0S(A^=B ±-. C±I)± ...) connaissant
log K, loi/B, loi) C, logD, ...
Pour cela, nous rendrons, d'abord, A dz B calculable par logarithmes, ce qui nous donnera log (A d: B) au moyen d'un premier angle auxiliaire cp. Puis, [A ±: B) étant considéré comme effectué, on rendra calculable par logarithmes (A ± B] ± C par l'introduction d'un second angle auxiliaire >]/. Il faudra un troisième angle auxiliaire 6 pour rendre calculable par logarithmes A ± B + C d: D ; et ainsi de suite.
Soit, par exemple,
Nous posons, d'abord,
et nous avons :
(2) A-fB = — ^;
^ ' COS^ cç
on en conclut
A .|- lï C = — ^ C.
l'osons, enfin,
C cos^ o
(3) sin't = --^,
cl nous aurons :
RENDRE UNE FORMULE CALCULABLE PAR LOliARITHHES. IST
On calculera donc : 1° f par la formule (1); 2°! par la formule (3), connaissant ^; 3" Connaissant, enfin, ^ el ■h, nous aurons
tofi (A + B - C) par la formule (4).
122. Expressions rationnelles. ■ — Soit à rendre calculable par logarithmes une expression de la forme
Il suffit, pour cela, de rendre, séparément, calculables par logarithmes le numérateur et le dénominateur; car le logarithme de l'expression est !a différence des logarithmes des deux termes.
Application. — Calculer log connaissant log a et log ]>.
On transforme a — b et a + ^ 6t, ici, comme on a les deux quantités, à la fois, on appliquera la méthode du n" 12U. On pose
«sin(45"-ç)
ces 45" COS9 '
asin(45°-|-<p)
