HE«URE UNK FORMULE CALCULABLE PAU LOGARITHMES. ISS
En suivant la méthode générale, il faudrait deux; angles auxiliaires. Nous allons voir que, si on suppose 6 et c connues elles-mêmes, et non leurs logarithmes, il suffira d'tin seul angle auxiliaire. On a, en cifet,
cos A = cos^ - — sin^ ~ ,
0// + <:^] (cos^ I + sin^ I) ne (cos^ ^ - S,«^ ^)
' cos^ - + l* + cY
Sous le radical il ne figure plus ainsi qu'une somme de deux termes. Nous aurons donc :
/h' ] c'^ „ i/jc cos A --: li + e} sin^yi + {l-jzfi ''■'^^^' t'
Posons :
b — ef^
il vient, enfin,
{/. + c) sin -
(2} v'*^ + c^ — 2l>c cos A =
* ' ' ' cos (ji
— Si, contrairement à notre hypothèse, on ne connaissait que (ogb et loge, il faudrait toujours deux angles auxiliaires. On
poserdl :
on aurait :
-=lg(ffi--+icolg*,
eL, finfin,
J sii, (45« + <.) sin *
c cos A = — ■
cos 45" cos •]! cos ç
140 LEÇONS m TlilGÛNÛSlÉTRlK.
125. Ri^golution trigronoinêtrique d'une équation dn second degré. — Le problème que nous nous proposons de résoudre est le suivant :
Étant donnée l'équation du second degré
(1) ax^ + bx+c = (i,
donl les deux racines existent, calculer ces deux racines, connaissant les logariihmes des valeurs absolues des coefficients.
Première méthode. — La formule connue (') de résolution de l'équation (1) est :
— 6 zh \lb'^ — kac
Ceci peut s'écrire :
-èhv'-^].
en mettant i^ en facteur sous le radical et faisant sortir b de ce radical. (Les signes + de cette formule ne correspondent pas nécessairement à ceux de la formule précédente.)
Pour rendre la formule (2) calculable par logarithmes, nous distinguerons deux cas :
1" Les deux racines de l'équalion sunl de même signe.
On a donc :
Dans ce cas, les racines existant, la quantité placée sous le radical est positive, et on a :
Nous pouvons donc poser :
(31 sin^ ù = -T~
et l'angle 'f est calculable par logarithmes, lorsqu'on connaît les
(1) Voir lo 11» 87 de mes Levons d-Xhjibn .:l,JmeillMi.:
„„..„..i: UOE FORMULE CALCULABLE PAR LOGARITHMES. Ul
logarithmes des valeurs absolues de a, b, c. Les deux racines w' et x" sont donc données par les formules :
Ur, diaprés les formules [44] et [45], on a 1 -f- cos ^ = 2 cos* ^,
On a donc, finale
Ces formules sont calculables par logarithmes. En désignant, comme d'ordinaire, par |k[ la valeur absolue de -j., on a :
; log \x'\ = log ]lj\ -f- colo(j \a\ -j- 2 log cos ^, ' log '^x"\ ~ log \/j\ + colog \a\ + 2 log sin | .
2° Les deux racines de Véquation sont de signes coniraires. — On a donc ;
ac < 0.
knc La quantité — -7^ est positive et nous pouvons poser
l'angle » est calculable par logarithmes.
i2 LEÇONS IlE TllIGOJiOMÉTHIE.
Les deux racines x' et x" sont, alors,
2a L costpj 2a cos f '
2a L cos ^1 In cos^
En vertu des formules rappelées plus haut, on a tlooc : I Ij cos^ ^
Ces formules mettent bien en 6vidence que les deux racines at' et x" sont de signes contraires. Elles donnent :
i log \i-'\ ^ % \ù\ + colug \((l + 2 ^o? cos ^ + co% cos .p, ( /oj \x"i = /o(/ !è[ + colog la] -{- 2 /o;/ sin ^ + co/nj cos 9.
Le problème est ainsi résolu dans tous les cas.
On peut remarquer que dans le cas d'une l'acine double,
le problème est tout résolu, car on a :
(xnMi'i.Ë ('). — Résoudre l'équation du second degré
œ^ + ^a' + fî^O,
;t fi élant deux nombres positifs tels que
loga= 1,6537013, log^= 1,873913S.
RMDRE U!SE FOIUIULK CALCULABLE PAR LOGARITUJIEK. 143
On peut d'abord remarquer que les racines existenî, car on a : 2 iog a > log p + log i
iog fx^ > log 4 p
Elles sont, de plus, négatives, puisque leur prodiiiL p est positif ot la Nous sommes donc dans le premier cas, où
log sin a = - [log i + log^^ + 2 colog aj, :;o qui doiiuera ç. Ayant calculé 9, on aura :
%],T'|=/09a-L2%cos|, log [ x'' \ =io[ïa + 2%sin^.
Voici comment nous disposerons les calculs :
1° Culcul de 9, %4 = 0,6030593 log p = ^8759135 ■; colog a — 4,6935976 2i09sin? = Î,170a7i0 %siii9 = ï,383a8Sj pour ^SSSSTie 22°38'0" A — 30o.
diff. —. 130 pour iOi 2"
diff. = 38 pour 33,3o 0",7
diff. = 2,63
pour 2,53 0"05
H"IO' l",37.
LEÇONS DE TI!IGO?)0METUI
3° Citleul de log ci
pow HM9'I0" J,9014689
four — 8" 33,6
pour — 0-',% 2,H2
pour — 0'',03 0,126
io(/cos| — I,991472a.
3° Calcul de lo'j siii ^ ■
pour 11" 19'!)" T,292768a
poM)' 1" J0S,2
po»c 0",3 31,ofi
p-jm' 0",0" 7,3S4
log&inij = 1,292T829.
'r Calcul de \ a:' \ .
2?03cos| = T,983S4oO
pour 6366383 433i:i
diff. = 79
Jiow 19 0,70
I ,ï' I ^TT 43,31379.
3° C<dcul de \ x" \ .
%a = 1,6337012 2%5in| = 2,3835638
î<,ff|a;"|= 0,2392670 poîfî' 2395494 17348
diff. = 176 pour 173 0.70
BENDRE USE FORMULE CALCUI.AB],E PAU LOCJAlilTllMES.
En résumé, les deux racines ûtaiit négatives, on a :
a prenant le mémo nombre de chiffres décîmaus pour les deux omme vérilication, ou peut s'assurer que
% \x' \ + loij \X" \= lOfj p;
log I .V I + % I X" I = l,87;i9I33.
Deuxième méthode, — La méthode précédente est l'application directe des procédés généraux que nous avons exposés. Elle donne lieu, quelquefois, à des calculs assez longs. En voici une autre qui, souvent, surtout dans le cas ofi les deux racines sont de signes contraires, conduit à des calculs plus simples.
x' et x" étant les deux iMcines de l'équation .(i), on a, comme
Pour résoudre l'équation ('!), il suffit donc de ffouver deux nombres x' et x" vérifiant ces deux relations. Distinguons, à cet effet, deux cas :
l" - >> 0, les deux vctcinrs sont de. même siç/iie. — l'osons :
£ étant égal à -J- 1 o"^ ^ — '> suivant que est positif ou négatif.
La relation (8) sera vérifiée quel que soit ^ ; il suffit donc de choisir l'angle auxiliaire o de façon à satisfaire la relation (7}. Nous devrons donc a
-(tge, + COtgç.)-- ■
\.i:i;0'S?, DE TniGOMOMETlilK.
On en Lire :
(■10) sin 2* = 2 i^'
formule qui est calculable par logarithmes.
On calculera f par celte formule; ^ étant connu, les formules (9) donnent :
lorj ^^' \-.ilo!j]c\+l colog | « | + log tg j.
lî faut remarquer que la formule (10) donnera toujours pour sin2ç iine valeur acceptable, car, puisque les racines existent par hypothèse, on a
ce qui exprime que le carré de la valeur de sin 2& est plus petit que 1.
2° — <; 0, /es deux racines sont de signes contraires. — Désignons par x' celle des deux racines qui est la plus petite en valeur absolue ; elle scrad'un signe contraire h celui de — -. Si donc nous désignons
par 6 un nombre égal à -|-1 ou a. — l,suivantque est. positif
ou négatif, nous satisferons la relation (S) en posant :
»'=— «v — ^-ig?. »"=^!v ^!i"'^''
r|':ndeie u.ne formole calculable par logarithmes. in Choisissons, ensuite, ç de façon h vérifier la relation (7) et nous devons avoir :
- V— ^i^S'? — coljî f) = — -^.
ou
. / C COS^a — siH-o b V n cos'i sin ^ ii'
Ui) en tire :
formule calculable par logarithmes. On calculera f par cette formule qui est toujours acceptable; puis, o étant connu, les égalités (11) donnent :
'09 I ^' \— r)^og\c\ + - coiofj \ a \ -f iog Ig 9 , iog I x' \ = i^ûr/ le [ + ^..^5 1 « 1 -1- ^o/or/ tg^.
EXERCICES
38. lieniire caliMilaliIra par logarithmes les expressijons :
i + vî-;^.
