CHAPITRE V ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES A UNE INCONNUE
126. Généralités. — On appelle dqxtalÀon trigonomélrique uûe égalité qui contient des lignes tri go no m étriqués de certains arcs ou angles et qui n'est vérifiée que si on attribue à ces arcs ou angles des valeurs convenablement choisies appelées solutions.
En général, une équation tri gono m étriqué à une inconnue admet une infinité de solutions; mais ces solutions se composent d'un nombre limilé de groupes de solutions toutes congrues entre elles. Une équation trigonomé trique est donc résolue dès qu'on a trouvé les solutions, en nombre fini, incongrues entre elles, telles que toutes les autres soient congrues ît celles-ci.
Pour résoudre iine équation trigonométrique, on peut employer la métbode générale suivante :
On exprime toutes les Ugnes trigonomé triques inconnues au moyen d'une seule. On a, alors, une équation ordinaire à une inconnue que l'on résout. Connaissant les valeurs de celle ligne trigonométrique, prise pour inconnue, les tables permettent de calculer les angles correspondants.
Ëtanl donnée une équation trigonométrique conlunant les lignes trigonométriques d'un angle inconnu x :
1° On peut prendre pour inconnue l'une de ces lignes.
Par exemple, on prendra sîn x pour inconnue. En général, ce procédé introduira des radicaux qu'il faudra faire disparaître. De plus, si l'inconnue est sîn x, il faudra, dans la discussion, ne prendre que les valeurs comprises entre — 1 et -|- 1.
2° On peut prendre pour inconnue tg ^.
Ce procédé aura l'avantage de ne jamais introduire de radicaux ; car.comme nous l'avons vu(n''89), toutes les lignes trigonométriques
de l'angle x s'expriment ralionnellement en fonction de tg -.
A côté de cette méthode générale, qui, quelquefois, peut conduire à des calculs très difficiles et même inextricables, il y a des méthodes spéciales qui dépendent de la forme de l'équation à.
150 LEtOriS DE THIGONOMETIUK.
résoudre et qu'on ne peut enCei-mer dans une règle générale. On en aura une idée suftisanle dans les exemples qui vont suivre. 127. Problème. — Résoudre réqvaiion
(1) ft sin;c + 6C0S.-E — r.
Premièse MéTHODK. — Prenons, d'abord, sin a; pour inconnue. On a:
cos a^ — ± \/i — sin^ x, et l'équation (1) s'écrit :
Isolons le radical et élevons au carré. Comme il y a un double signe devant le radical, nous n'introduirons aucune solution étrangère en sin x. Kous obtenons :
b^ ('1 — sin- a) = c^ — 2 ne sin x -\- a- sin^ x.
Ceci donne une équation du second degré en sin x.
(2) {y + />') sin^ X — 2 uc sin X -{- é ~ ù^ = 0.
Discmsion. — Pour que l'équation ait des solutions, il faut qu'elle ait des racines et, de plus, qu'il y en ait au moins ime qui soil comprise entre — 1 et + 1, puisque l'inconnue est un sinus.
Pour que les racines existent il faut que l'on ait :
on S' ((■• + 4' — C) > (1.
Comme />' est positif, on peut diviser par h^ et la condition s'érrit :
Cette condition étant satisfaite, il est facile de vérifier que les deux racines seront comprises entre — 1 et + 1 ; car l'équation en sin a' s'écrit:
ù' [i — sin^a;) ^ (c — a sin a;)^,
ce qui prouve que, pour toute racine, sin x, de cette équation, 1 — sin^ar est positif et, par suite, sin^a^ plus petit que 1.
ÉQUATIONS TRIGONOliÉTRIQUES A USE INCONNOK. 151
La seule coûdilion à remplir est donc la condition (3) et, alors, les deux racines de l'équation (2) en sin x sont acceptables.
Résolution. — Ceci posé, la condition (3). étant remplie, nous aurons, en résolvant l'équation (2),
ac + 6 V "^ + ^^ — '^"
On commence par calculer deux angles a et fi tels que l'on ait : ac + b ■j7f-\- 6'— c' c^' + b'
Ces angles a et ^ seront faciles à calculer au moyen des tables. Eu effet, si la valeur do sinct est positive, la table donnera, immédiatement, un angle a, compris entre 0' et 90", répondant à la question. Si la valeur de sina est négative, on calculera, par les tables, un angle œ, compris entre 0° et 90', ayant pour sinus la valeur absolue de sin a. et on aura une solution en prenant
On trouvera de même p.
Les angles k et p étant ainsi calculés, tous les angles x cherchés seront congrus soit à. a, soit à 180" — a; soit à p, soit à 180° — 8. On aura donc les quatre groupes de solutions de Céqualîon (2)
\ a: = 360;!; + 180 — fi;
od /v est un entier positif, négatif ou nul. Il ne faudrait cependant pas croire que toutes ces solutions satisfont l'équation (1). S'il est vrai que nous n'avons pas introduit de solution étrangère powr sinar, nous avons pu en introduire pour Vcmijk x. En efl'et, si on avait considéré l'équation
(1) *"'' a sin je — è cos x := c,
153 LEÇO.N'SJ DE TIUGONOJIEÏUIE.
on serait armé, en la traitant comme l'équation (1), à la même équation en sina; (2). Les solutions des équations (i) et (1)*'' ont les mêmes sinus, mais il ne s'ensuit pas qu'elles sont les mêmes. 11 faudra donc choisir, parmi les valeurs (6), celles qui vériflent l'équation {!). Ceci est facile. En effel, les deux angles « et 180" — i, ayant même sinus, mais des cosinus de signes contraires, l'un de ces deux angles vérifiera l'équation (1) et l'autre l'équation (l)*". Soit Y celui de ces deux angles qui satisfait l'équalion (1). De même, des deux angles p et 180° — ^, il y en a un seul, que j'appelle S, qui vérifie l'équation (i). Le choix des angles y et S étant ainsi fait, oii a, finalement, les deux groupes de solutions suivants de !'équation(l) :
Pour faire le calcul effectif, il faudra encore reudre les valeurs de sina et sinp calculables par logarithmes.
Deuxième méthode. — Prenons, en second lieu, tg x
inconnue. On a, cotnme on sait (n" 89),
1 + IB" 2 1 + tff 2
En substituant ces valeurs dans l'équation (1], elle devient : ■2a tg ï + 4 (l - Ig- ï) = c (l + tg' ;) , OU :
(8) (/, + ,) tg= I - 2« tg^ + .~ 6 tr.0.
Discussion. — Pour qu'il y ait des solutions, il suffit que celle équation en tg r ait des racines. Il sufllt donc que l'on ait :
«^-(c-i}(^ + i)>0, el on retrouve la coiidilion (3) précédente
ÉQUATIONS ïlllGONOMÉTUlUliES A Ui\E I^JCO.NNUIÎ. 153
liésoluHon. — Cette condition étant remplie, on a. deux valeurs pour Ig- , qui sont :
On commencera par calculer deux angles y' et S' tels que l'on ait :
„ + vV + I,' -~7'
l'o' + If ■ » + <■
Ces angles seront faciles à calculer au moyen des taljles. Ainsi, si la valeur de tgy' est positive, la table donnera de suite un angle y', compris entre 0" et 90°, répondant h la question. Si la valeur de Igy' est négative, la table donnera un angle 1", compris entre 0° et 90", tel que
ISt'' — - Lgy' et on pourra prendre
De même pour le calcul de 3'. Les angles •;' '^^ ^' élaut ainsi calculés, OH aura pour toutes les solutions :
On trouve, par suite, deux groupes de solutions :
On retombe sur les deux groupes (7) trouvés plus haut.
Remarque, — Cette seconde méthode conduit, on le voit, à une discussion beaucoup plus simple que la précédente pour la double raison que, d'une part, la tangente peut prendre toutes les valeurs possibles et que, d'autre part, il n'y a pas eu d'élévalion au carré, donc aucune introduction de solutions étrangères.
154 LEÇO.NS DE TJilGO.N'O.MmiIK.
Troisième méthode. -■ Au point de vue du calcul pratique, les deux méthodes précédentes conduiraient à des calculs assez compliqués, car les formules de résolution exigeraient plusieurs angles auxiliaires, pour êlre rendues calculables par logarithmes.
Nous les avons exposées surtout pour donner des exemples de l'application de la méthode générale indiquée au début. La méthode suivante est beaucoup plus simple.
Divisons le premier membre de l'équation (1) par a. Elle s'écrit :
sina; -j — cosa: =; -,
ce qui est toujours permis puisque la tangente peut prendre loiites les valeurs possibles. L'équation prend la forme
sinj7Cos^ -j- sina cosif ^^ - cos^, ou, enfin,
(10) sin(x + ,)=%„Sï.
Pour résoudre, on calculera donc d'abord l'angle f donné par la formule (9). La formule (10) donnera alors x -\- if et, par suite, œ.
Discussion. — Il faut que la valeur de sin {x -{- tp) donnée par l'équation (10) soit comprise entre — 1 et+ 1. Pour cela, il suffit que son carré soit plus petit que 1. On doit donc avoir
^ cos^ ? -^ '1 ■ Or, comme on a
ÉQUATIO?(S TRIGONOMÉTItlQUES A U.NE [XCO>i>;UK, 155
011 en conclnl :
La condiLion précédente devient donc :
et on retrouve la condition (3)
fti^xohi(ioii. — On calculera, d'abord, au moyen des tables, angle « tel que
Cet angle a connu, on aura soit
a: + (p = 360/.: + ï, soit
On retrouve donc les deux groupes de solutions :
^ x = 3mk + ^ —9,
qui ont bien la forme (7).
Exemple. — Soit à résoudre l'équaHnn
Nous l'écrivons, en solyaot la troisième méthode,
X cos 43' -h sin 45° cos x = '^ cou 4S".
LEÇONS Î>E THKJOKOMKTRIE.
le second membre est égal à. - el, l'équatio
ia' + x^ 360 k' + 180' — 30*.
Ceci donne les deiis groupes de solutions :
,r = 360ft'- fà% a;=360/f + 10b'.
